Es un error común el suponer que la derivada de un cociente es el cociente de las derivas. Para verificar el error en esta suposición consideremos un ejemplo particular:
Sea $f\left( x \right) = 2x - 3$ y $g\left( x \right) = 5x + 2$; entonces, $f'\left( x \right) = 2$, $g'\left( x \right) = 5$ y $\frac{{f'\left( x \right)}}{{g'\left( x \right)}} = \frac{2}{5}$. Ahora bien, el cociente de $f\left( x \right)$ y $g\left( x \right)$ es $\left( {\frac{f}{g}} \right)\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{{5x + 2}}$, cuya derivada ― obtenida mediante la definición de la derivada de Newton ― es ${\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime }\left( x \right) = \frac{{19}}{{{{\left( {5x + 2} \right)}^2}}}$. En consecuencia, ${\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime }\left( x \right) \ne \frac{{f'\left( x \right)}}{{g'\left( x \right)}}$, es decir, $\frac{{19}}{{{{\left( {5x + 2} \right)}^2}}} \ne \frac{2}{5}$.
La fórmula correcta para la derivada del cociente de funciones es conocida como regla del cociente y se expresa como:
Regla 7. Regla del cociente
Si $f\left( x \right)$ y $g\left( x \right)$ son dos funciones derivables, entonces
$\frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right] = \frac{{g\left( x \right)\frac{d}{{dx}}\left[ {f\left( x \right)} \right] - f\left( x \right)\frac{d}{{dx}}\left[ {g\left( x \right)} \right]}}{{{{\left[ {g\left( x \right)} \right]}^2}}}$
Observa la demostración de la regla del cociente.
Ejemplo 1
Sea la función $[f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 9}}{{x + 3}}$, determinaremos su derivada utilizando la regla del cociente.
$\begin{array}{l} \frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = \frac{{\left( {x + 3} \right)\frac{d}{{dx}}\left[ {{x^2} - 9} \right] - \left( {{x^2} - 9} \right)\frac{d}{{dx}}\left[ {x + 3} \right]}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\\ \frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = \frac{{\left( {x + 3} \right)(2x) - \left( {{x^2} - 9} \right)(1)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\\ \frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 6x - {x^2} + 9}}{{{x^2} + 6x + 9}}\\ \frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 6x + 9}}{{{x^2} + 6x + 9}}\\ \frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = 1 \end{array}$
Cabe mencionar que en este ejemplo es posible simplificar la expresión para $f\left( x \right)$, es decir:
$f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 9}}{{x + 3}} = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x + 3}} = x - 3$
En consecuencia, se puede obtener la derivada de la función mediante la regla para la suma de funciones:
$\frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = 1$
Observa que el resultado es el mismo con cualquiera de los dos métodos. Sin embargo, existen funciones donde no será posible simplificar la función original, como se ilustra en el siguiente ejemplo; en dichos casos será conveniente utilizar la regla del cociente.
Ejemplo 2
Sea la función $f\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{{5x + 2}}$, determinaremos su derivada utilizando la regla del cociente.
\begin{array}{l} \frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = \frac{{\left( {5x + 2} \right)\frac{d}{{dx}}\left[ {2x - 3} \right] - \left( {2x - 3} \right)\frac{d}{{dx}}\left[ {5x + 2} \right]}}{{{{\left( {5x + 2} \right)}^2}}}\\ \frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = \frac{{\left( {5x + 2} \right)(2) - \left( {2x - 3} \right)(5)}}{{{{\left( {5x + 2} \right)}^2}}}\\ \frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = \frac{{10x + 4 - 10x + 15}}{{{{\left( {5x + 2} \right)}^2}}}\\ \frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = \frac{{19}}{{{{\left( {5x + 2} \right)}^2}}} \end{array}
Calcula la derivada de la función $[f\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{x}$ utilizando la regla del cociente.
Calcula la derivada de la función $f\left( x \right) = \frac{{{x^3} - 3}}{{5 - {x^2}}}$ utilizando la regla del cociente.