Calcula la derivada de las siguientes funciones utilizando el cociente de Newton o el cociente de Fermat; si tienes alguna duda revisa los ejemplos 3 y 4:
Con base en las derivadas de las funciones potencia obtenidas, selecciona la opción para formular la derivada de la función potencia $f\left( x \right) = {x^n}$, donde n es una constante.
Con base en el método inductivo, podemos establecer la tercera regla de derivación:
Regla 3. Derivada de la función potencia
Si n es cualquier número real, entonces
$\frac{d}{{dx}}{x^n} = n{x^{n - 1}}$
Observa la demostración de la regla de la función potencia.
Calcula la derivada de la función $f\left( x \right) = {x^5}$ utilizando la regla para la derivada de la función potencia.
¿La tercera regla de derivación es aplicable en funciones con exponentes racionales o con raíces?
Cuando trabajamos con raíces o exponentes racionales se utilizan las leyes de los exponentes y radicales. A continuación, revisaremos algunos ejemplos.
Ejemplo. Derivada de una función con exponentes racionales.
Sea la función $f\left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^4}}}$, para determinar su derivada utilizando la tercera regla, primero se emplean las leyes de los exponentes racionales:
$\begin{array}{l} f\left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^4}}}\\ f\left( x \right) = {x^{\frac{4}{3}}} \end{array}$
Después, se aplica la tercera regla de derivación:
$\begin{array}{l} f'\left( x \right) = \frac{4}{3}{x^{\frac{4}{3} - 1}}\\ f'\left( x \right) = \frac{4}{3}{x^{\frac{4}{3} - \frac{3}{3}}}\\ f'\left( x \right) = \frac{4}{3}{x^{\frac{1}{3}}} \end{array}$
Y se reescribe la función derivada en forma de raíz:
$f'\left( x \right) = \frac{4}{3}\sqrt[3]{x}$
Ejemplo. Derivada de una función con exponentes negativos.
Sea la función $f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^3}}}$, para determinar su derivada utilizando la tercera regla, primero se emplea la ley de los exponentes negativos:
$\begin{array}{l} f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^3}}}\\ f\left( x \right) = {x^{ - 3}} \end{array}$
Después, se aplica la tercera regla de derivación:
$\begin{array}{l} f'\left( x \right) = - 3{x^{ - 3 - 1}}\\ f'\left( x \right) = - 3{x^{ - 4}} \end{array}$
La función derivada puede reescribirse con el exponente positivo:
$f'\left( x \right) = - \frac{3}{{{x^4}}}$
Calcula la derivada de la función $f\left( x \right) = \sqrt x $ utilizando las leyes de los exponentes y radicales.
Calcula la derivada de la función $f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^3}}}$ utilizando las leyes de los exponentes.