Por analogía con la regla de derivación para la suma y la diferencia podrías suponer erróneamiente que la derivada de un producto es el producto de las derivas. Para verificar el error en esta suposición consideremos un ejemplo particular:
Sea f(x)=x y g(x)=x2; entonces, f′(x)=1, g′(x)=x2 y f′(x)g′(x)=x2. Ahora bien, el producto de f(x) y g(x) es (fg)(x)=x3, cuya derivada es (fg)′(x)=3x2. En consecuencia, (fg)′(x)≠f′(x)g′(x), es decir, 3x2≠x2.
La fórmula correcta para la derivada del producto de funciones es conocida como regla del producto y se expresa como:
Regla 6. Regla del producto
Si f(x) y g(x) son dos funciones derivables, entonces
ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)
Ejemplo
Sea la función f(x)=(x3−3)(x2−5x), determinaremos su derivada utilizando la regla del producto.
ddx[(x3−3)(x2−5x)]=(x3−3)ddx(x2−5x)+(x2−5x)ddx(x3−3)ddx[(x3−3)(x2−5x)]=(x3−3)(2x−5)+(x2−5x)(3x2)ddx[(x3−3)(x2−5x)]=2x4−5x3−6x+15+3x4−15x3ddx[(x3−3)(x2−5x)]=5x4−20x3−6x+15
También se puede calcular la derivada al multiplicar el polinomio original y derivar este resultado:
f(x)=(x3−3)(x2−5x)f(x)=x5−5x4−3x2+15xddxf(x)=ddx[x5−5x4−3x2+15x]ddxf(x)=5x4−20x3−6x+15
Calcula la derivada de la función f(x)=(5x+3)(x4−3x):