Derivada para el producto de funciones

Por analogía con la regla de derivación para la suma y la diferencia podrías suponer erróneamiente que la derivada de un producto es el producto de las derivas. Para verificar el error en esta suposición consideremos un ejemplo particular:

Sea $f\left( x \right) = x$ y $g\left( x \right) = {x^2}$; entonces, $f'\left( x \right) = 1$, $g'\left( x \right) = {x^2}$ y $f'\left( x \right)g'\left( x \right) = {x^2}$. Ahora bien, el producto de $f\left( x \right)$ y $g\left( x \right)$ es $\left( {fg} \right)\left( x \right) = {x^3}$, cuya derivada es ${\left( {fg} \right)^\prime }\left( x \right) = 3{x^2}$. En consecuencia, ${\left( {fg} \right)^\prime }\left( x \right) \ne f'\left( x \right)g'\left( x \right)$, es decir, $3{x^2} \ne {x^2}$.

La fórmula correcta para la derivada del producto de funciones es conocida como regla del producto y se expresa como:

Regla 6. Regla del producto

Si $f\left( x \right)$ y $g\left( x \right)$ son dos funciones derivables, entonces

$\frac{d}{{dx}}f\left( x \right)g\left( x \right) = f\left( x \right)\frac{d}{{dx}}g\left( x \right) + g\left( x \right)\frac{d}{{dx}}f\left( x \right)$

Observa la demostración de la regla del producto.

Ejemplo

Sea la función $f\left( x \right) = \left( {{x^3} - 3} \right)\left( {{x^2} - 5x} \right)$, determinaremos su derivada utilizando la regla del producto.

$\begin{array}{l} \frac{d}{{dx}}\left[ {\left( {{x^3} - 3} \right)\left( {{x^2} - 5x} \right)} \right] = \left( {{x^3} - 3} \right)\frac{d}{{dx}}\left( {{x^2} - 5x} \right) + \left( {{x^2} - 5x} \right)\frac{d}{{dx}}\left( {{x^3} - 3} \right)\\ \frac{d}{{dx}}\left[ {\left( {{x^3} - 3} \right)\left( {{x^2} - 5x} \right)} \right] = \left( {{x^3} - 3} \right)\left( {2x - 5} \right) + \left( {{x^2} - 5x} \right)\left( {3{x^2}} \right)\\ \frac{d}{{dx}}\left[ {\left( {{x^3} - 3} \right)\left( {{x^2} - 5x} \right)} \right] = 2{x^4} - 5{x^3} - 6x + 15 + 3{x^4} - 15{x^3}\\ \frac{d}{{dx}}\left[ {\left( {{x^3} - 3} \right)\left( {{x^2} - 5x} \right)} \right] = 5{x^4} - 20{x^3} - 6x + 15 \end{array}$

También se puede calcular la derivada al multiplicar el polinomio original y derivar este resultado:

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = \left( {{x^3} - 3} \right)\left( {{x^2} - 5x} \right)\\ f\left( x \right) = {x^5} - 5{x^4} - 3{x^2} + 15x\\ \frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = \frac{d}{{dx}}\left[ {{x^5} - 5{x^4} - 3{x^2} + 15x} \right]\\ \frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = 5{x^4} - 20{x^3} - 6x + 15 \end{array}$
Ejercicio de selección

Calcula la derivada de la función $f\left( x \right) = \left( {5x + 3} \right)\left( {{x^4} - 3x} \right)$:

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = \left( {5x + 3} \right)\left( {{x^4} - 3x} \right)\\ \frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = \left( {5x + 3} \right)\frac{d}{{dx}}\left( {{x^4} - 3x} \right) + \left( {{x^4} - 3x} \right)\frac{d}{{dx}}\left( {5x + 3} \right)\\ \frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = \left( {5x + 3} \right)\left( {4{x^3} - 3} \right) + \left( {{x^4} - 3x} \right)\left( 5 \right)\\ \frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = 20{x^4} + 12{x^3} - 15x - 9 + 5{x^4} - 15x\\ \frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = 25{x^4} + 12{x^3} - 30x - 9 \end{array}$