Derivada para el producto de funciones

Por analogía con la regla de derivación para la suma y la diferencia podrías suponer erróneamiente que la derivada de un producto es el producto de las derivas. Para verificar el error en esta suposición consideremos un ejemplo particular:

Sea f(x)=x y g(x)=x2; entonces, f(x)=1, g(x)=x2 y f(x)g(x)=x2. Ahora bien, el producto de f(x) y g(x) es (fg)(x)=x3, cuya derivada es (fg)(x)=3x2. En consecuencia, (fg)(x)f(x)g(x), es decir, 3x2x2.

La fórmula correcta para la derivada del producto de funciones es conocida como regla del producto y se expresa como:

Regla 6. Regla del producto

Si f(x) y g(x) son dos funciones derivables, entonces

ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)

Observa la demostración de la regla del producto.

Ejemplo

Sea la función f(x)=(x33)(x25x), determinaremos su derivada utilizando la regla del producto.

ddx[(x33)(x25x)]=(x33)ddx(x25x)+(x25x)ddx(x33)ddx[(x33)(x25x)]=(x33)(2x5)+(x25x)(3x2)ddx[(x33)(x25x)]=2x45x36x+15+3x415x3ddx[(x33)(x25x)]=5x420x36x+15

También se puede calcular la derivada al multiplicar el polinomio original y derivar este resultado:

f(x)=(x33)(x25x)f(x)=x55x43x2+15xddxf(x)=ddx[x55x43x2+15x]ddxf(x)=5x420x36x+15

Ejercicio de selección

Calcula la derivada de la función f(x)=(5x+3)(x43x):