Derivada de la suma de funciones

Demostración para la suma

Dada la función $F\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)$ entonces

$\begin{array}{l} F'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{F\left( {x + h} \right) - F\left( x \right)}}{h}\\ F'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left[ {f\left( {x + h} \right) + g\left( {x + h} \right)} \right] - \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]}}{h}\\ F'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left[ {\frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} + \frac{{g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)}}{h}} \right]\\ F'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)}}{h}\\ F'\left( x \right) = f'\left( x \right) + g'\left( x \right) \end{array}$

Que en notación de Leibniz se expresa como:

$\frac{d}{{dx}}\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \frac{d}{{dx}}f\left( x \right) + \frac{d}{{dx}}g\left( x \right)$

La regla de la derivada de la suma de funciones se puede generalizar para la suma de cualquier número de funciones, es decir:

${\left( {f + g + h} \right)^\prime } = {\left[ {\left( {f + g} \right) + h} \right]^\prime } = {\left( {f + g} \right)^\prime } + h = f' + g' + h'$

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Demostración para la resta

Dada $F\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)$, se reescribe como $F\left( x \right) = f\left( x \right) + \left[ { - g\left( x \right)} \right]$ y se aplica la regla para la suma y la regla del múltiplo constante, con lo cual se obtiene que:

$\begin{array}{l} F'\left( x \right) = f'\left( x \right) + \left[ { - g'\left( x \right)} \right]\\ F'\left( x \right) = f'\left( x \right) - g'\left( x \right) \end{array}$

Que en notación de Leibniz se expresa como:

$\frac{d}{{dx}}\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = \frac{d}{{dx}}f\left( x \right) - \frac{d}{{dx}}g\left( x \right)$

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