Con semicírculos

Geogebra

Explora el recurso GeoGebra para ilustrar diferentes posibilidades de semicírculos construidos sobre los lados de triángulos de distintos tipos, para establecer las condiciones que se cumplen en el Teorema de Pitágoras generalizado. Después contesta las siguientes preguntas:

Geogebra

Revisa el recurso Geogebra y sigue las instrucciones. Después contesta la siguientes preguntas:

¿Para qué valor del ángulo $α$ se cumple que la suma de las áreas $A_1+A_2=A_3$ ? $\alpha=$ grados
90
¿Para que qué tipo de triángulo se cumple que la suma de las áreas $A_1+A_2=A_3$ ? Triángulo
(acutángulo/obtusángulo/rectángulo)
Todos los semicírculos son semejantes
rectángulo
Ejercicio de escritura

Ahora aplicarás el Teorema de Pitágoras generalizado con semicírculos en un triángulo rectángulo particular para verificar el Teorema. Lee el siguiente problema y responde con la información que corresponde.

En un triángulo rectángulo con catetos que miden 8 cm y 6 cm e hipotenusa 10 cm, calcula las áreas $A_1, A_2$ y $A_3$ de cada uno de los semicírculos construidos sobre los lados del triángulo. Aproxima los resultados con un decimal y verifica que se cumple el Teorema de Pitágoras con los semicírculos $A_1+A_2=A_3$.

Recuerda que el área de los semicírculos se puede calcular con la fórmula:

$Área=\tfrac{\pi r^2}{2}$

Área del semicírculo $A_1=$ cm
25.1 cm
Área del semicírculo $A_2=$ cm
14.1 cm
Área del semicírculo $A_3=$ cm
39.2 cm
$A_1+A_2$ $=$ cm $+$ cm $=$ cm
25.1 cm + 14.1 cm = 39.2 cm
¿Se cumple el Teorema de Pitágoras $A_1=A_2=A_3$ ? (Sí/No)
Sí
Debes escribir tu respuesta para recibir retroalimentación.
Triángulo rectángulo

Procedimiento:

Semicírculo sobre cateto de 8 cm Semicírculo sobre cateto de 6 cm Semicírculo sobre hipotenusa de 10 cm
Radio = 4 Radio = 3 Radio = 5
Área $A_1=\tfrac{(3.1416)(4)^2}{2}=25.1$ Área $A_2=\tfrac{(3.1416)(3)^2}{2}=14.1$ Área $A_3=\tfrac{(3.1416)(5)^2}{2}=39.2$
$A_1+A_2=25.1+14.1=39.2=A_3$ Por tanto, se cumple el Teorema de Pitágoras $A_1+A_2=A_3$

Los resultados anteriores se pueden resumir en el que llamamos Teorema de Pitágoras generalizado, enunciado de la siguiente forma:

Teorema de Pitágoras Generalizado

En todo triángulo rectángulo la suma de las áreas de figuras semejantes construidas sobre los catetos es igual al área de la figura semejante con ellas construida sobre la hipotenusa.