La desigualdad del triángulo es un teorema de la geometría euclidiana que te permite establecer si las medidas de tres segmentos son adecuadas para formar un triángulo.
La desigualdad del triángulo establece que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor o igual que la longitud del tercer lado. En este material consideraremos solamente la condición de mayor.
De tal forma que si $a$, $b$ y $c$ son las longitudes los lados de un triángulo, entonces se cumplen las siguientes desigualdades:
$$a+b>c$$ $$a+c>b$$ $$b+c>a$$
Si la desigualdad del triángulo se cumple en las tres combinaciones, entonces es posible formar un triángulo; en caso contrario, no será posible hacerlo.
Por ejemplo, si se tienen tres segmentos $a$, $b$ y $c$ cuyas medidas son $a=101$, $b=201$ y $c=300$, sí será posible construir un triángulo ya que se cumplen las tres desigualdades; es decir:
| $a+b>c$ | $101+201>300$ | Cumple | Como sí se cumplen las tres desigualdades entonces sí es posible construir un triángulo con los segmentos a, b y c. |
| $a+c>b$ | $101+300>201$ | Cumple | |
| $b+c>a$ | $201+300>101$ | Cumple |
En caso de tres segmentos a, b y c cuyas medidas son a=100, b =200 y c=300, no será posible construir un triángulo ya que no se cumplen las tres desigualdades; es decir:
| $a+b>c$ | $100+200>300$ | No cumple | Como no se cumplen las tres desigualdades entonces no es posible construir un triángulo con los segmentos a, b y c. |
| $a+c>b$ | $100+300>200$ | Cumple | |
| $b+c>a$ | $200+300>100$ | Cumple |
Para comprender mejor la desigualdad del triángulo, revisa el recurso Geogebra . Mueve los deslizadores a, b y c para modificar la longitud de los segmentos correspondientes. Observa que para construir un triángulo se deben cumplir las tres desigualdades relacionadas con la desigualdad del triángulo.
En el recurso interactivo observaste que para todo triángulo se cumple que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera es mayor que la longitud del tercer lado, según establece la desigualdad del triángulo.
Reflexiona y contesta las siguientes preguntas.
Ya que has entendido la desigualdad del triángulo, revisa el recurso Geogebra para que comprendas una demostración matemática de la desigualdad del triángulo. Cabe mencionar que se presenta únicamente la comprobación para una de las tres condiciones de la desigualdad del triángulo (para $c+a>b$); sin embargo, se le pide al alumno que de forma análoga deduzca las condiciones restantes (es decir, $a+b>c$ y $b+c>a$).
Pon atención en el texto resaltado en color amarillo y observa la figura correspondiente; posteriormente, haz clic en el cuadro de verificación, observa la nueva figura que se presenta y pon atención en el texto que se resaltará nuevamente en color amarillo. Continúa haciendo clic en los cuadros de verificación que aparecerán según avances en la comprensión del material.