Criterios de la primera derivada

En las secciones anteriores observaste que un número crítico da lugar a diferentes tipos de puntos críticos (máximos y mínimos locales y puntos de inflexión). En esta sección y la siguiente utilizarás los llamados criterios de la primera y segunda derivada para identificar a los diferentes tipos de puntos críticos.

Criterio de la 1ª derivada

Sea $c$ un número crítico de una función continua $f$.

a) Si $f'$ cambia de positiva a negativa en $c$, entonces $f$ tiene un máximo local en $c$.

b) Si $f'$ cambia de negativa a positiva en $c$, entonces $f$ tiene un mínimo local en $c$.

c) Si $f'$ no cambia de signo en $c$, entonces $f$ no tiene ningún máximo o mínimo local en $c$.

  • En las siguientes figuras se muestra la función $f\left( x \right) = 4{x^2} - 16x + 20$ con número crítico $x = 2$. De color rosa se muestra la recta tangente cuya pendiente es negativa para $x < 2$ y positiva para $x> 2$; en términos de derivadas se tiene que $f'\left( x \right) < 0$ para $x < 2$ y $f'\left( x \right)> 0$ para $x > 2$. En consecuencia, el signo de la deriva $f'\left( x \right)$ cambia de negativo a positivo en el número crítico $x = 2$.

    Con base en las observaciones anteriores, podemos describir el comportamiento de la gráfica la función $f$:

    • El número crítico es $x = 2$.

    • Se tiene un punto crítico en $\left( {2,4} \right)$.

    • En el intervalo $\left( { - \infty ,2} \right)$, la derivada de la función es negativa, es decir, $f'\left( x \right) < 0$.

    • En el intervalo $\left( {2,\infty } \right)$, la derivada de la función es positiva, es decir, $f'\left( x \right) > 0$.

    • En el número crítico, $f'$ cambia de negativo a positivo, entonces $f$ tiene un mínimo local en $x = 2$ (por el criterio de la primera derivada).

    • En consecuencia, $f\left( 2 \right) = 4$ es un mínimo local.

  • En las siguientes figuras se muestra la función $f\left( x \right) = - 4{x^2} + 16x + 1$ con número crítico $x = 2$. De color rosa se muestra la recta tangente cuya pendiente es positiva para $x < 2$ y negativa para $x> 2$; en términos de derivadas se tiene que $f'\left( x \right) > 0$ para $x < 2$ y $f'\left( x \right) < 0$ para $x> 2$. En consecuencia, el signo de la deriva $f'\left( x \right)$ cambia de positivo a negativo en el número crítico $x = 2$.

    Con base en las observaciones anteriores, podemos describir el comportamiento de la gráfica la función $f$:

    • El número crítico es $x = 2$.

    • Se tiene un punto crítico en $\left( {2,17} \right)$.

    • En el intervalo $\left( { - \infty ,2} \right)$, la derivada de la función es positiva, es decir, $f'\left( x \right) > 0$.

    • En el intervalo $\left( {2,\infty } \right)$, la derivada de la función es negativa, es decir, $f'\left( x \right) < 0$.

    • En el número crítico, $f'$ cambia de positivo a negativo, entonces $f$ tiene un máximo local en $x = 2$ (por el criterio de la primera derivada).

    • En consecuencia, $f\left( 2 \right) = 17$ es un máximo local.

  • En el siguiente ejemplo se determinan los intervalos de crecimiento, así como valores máximos y mínimos locales de las siguientes funciones utilizando el criterio de la primera derivada.

    $f\left( x \right) = {x^3} - 9{x^2} + 15x - 3$

    Primero se determina la derivada de $f$:

    $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 18x + 15 = 3\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) = 3\left( {x - 5} \right)\left( {x - 1} \right)$

    Después se encuentran los números críticos igualando la derivada a cero, es decir, $f'\left( x \right) = 0$:

    $f'\left( x \right) = 3\left( {x - 5} \right)\left( {x - 1} \right) = 0$

    La igualdad anterior se cumple en los números críticos $x = 1$ y $x = 5$; estos números dividen al dominio en tres intervalos: $\left( { - \infty ,1} \right)$, $\left( {1,5} \right)$ y $\left( {5,\infty } \right)$. Luego se calcula el signo de la derivada en cada intervalo para determinar si la función es creciente o decreciente en dichos intervalos; para ello, se escoge un número dentro de cada intervalo y se evalúa la deriva en él; el signo del valor de la derivada determina si la función es creciente o decreciente en el intervalo, según se indica en la siguiente tabla.

    Intervalo Valor de la derivada $f'$ $f$
    $\left( { - \infty ,1} \right)$ $f'\left( 0 \right) = 3\left( {\left( 0 \right) - 5} \right)\left( {\left( 0 \right) - 1} \right) = 15$ $+$ Creciente sobre $\left( { - \infty ,1} \right)$
    $\left( {1,5} \right)$ $f'\left( 2 \right) = 3\left( {\left( 2 \right) - 5} \right)\left( {\left( 2 \right) - 1} \right) = - 9$ $-$ Decreciente sobre $\left( {1,5} \right)$
    $\left( {5,\infty } \right)$ $f'\left( 6 \right) = 3\left( {\left( 6 \right) - 5} \right)\left( {\left( 6 \right) - 1} \right) = 15$ $+$ Creciente sobre $\left( {5,\infty } \right)$

    A partir de la tabla anterior se puede concluir que:

    • Como la derivada cambia de positiva a negativa en el número crítico $x = 1$, entonces la función tiene un valor máximo local en $x = 1$.

    • Como la derivada cambia de negativa a positiva en el número crítico $x = 5$, entonces la función tiene un valor mínimo local en $x = 5$.

    La siguiente gráfica confirma la información anterior.

Ejercicio de escritura

Propósito. El desarrollo de los ejercicios te permitirá explorar la pendiente de la recta tangente y su relación con los máximos y mínimos de una función.

1. Analiza la gráfica de la función $f\left( x \right) = {x^3} - 12x$, así como la pendiente de la recta tangente en el punto A , y contesta las siguientes preguntas; revisa el recurso GeoGebra para realizar tu análisis.

El signo de la pendiente de la recta tangente a la izquierda del punto máximo de la función es
El signo de la pendiente de la recta tangente a la derecha del punto máximo de la función es
El valor de la pendiente de la recta tangente en el punto máximo es
El signo de la pendiente de la recta tangente a la izquierda del punto mínimo de la función es
El signo de la pendiente de la recta tangente a la derecha del punto mínimo de la función es
El valor de la pendiente de la recta tangente en el punto mínimo es
Ejercicio de selección

Dada la función $f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 11$, selecciona la opción correcta:

La derivada de la función es $f'\left( x \right) = $
El número crítico es
Las coordenadas del punto crítico son
En el intervalo $\left( { - \infty ,1} \right)$, la función es
En el intervalo $\left( {1,\infty } \right)$, la función es
En el número crítico, la derivada cambia
El punto crítico corresponde a un