Para determinar los intervalos donde una función es creciente o decreciente es posible utilizar el concepto de derivada: cuando la función es creciente, la recta tangente tiene pendiente positiva, por lo que $f'\left( x \right) > 0$; cuando la función es decreciente, la recta tangente tiene pendiente negativa, por lo que $f'\left( x \right) < 0$. Es decir:
Prueba creciente/decreciente
Si $f'\left( x \right) > 0$ en un intervalo, entonces $f$ es creciente en ese intervalo
Si $f'\left( x \right) < 0$ en un intervalo, entonces $f$ es decreciente en ese intervalo
Las siguientes figuras muestran la relación entre el comportamiento de la función y la derivada.
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Ejemplo 1
Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones.
$f\left( x \right) = - {x^2} - 4x + 1$
Primero se determina la derivada de $f$:
$f'\left( x \right) = - 2x - 4 = - 2\left( {x + 2} \right)$
Después se encuentran los números críticos igualando la derivada a cero, es decir, $f'\left( x \right) = 0$:
$f'\left( x \right) = - 2\left( {x + 2} \right) = 0$
La igualdad anterior se cumple en el número crítico $x = - 2$; este número divide al dominio en dos intervalos: $\left( { - \infty , - 2} \right)$ y $\left( { - 2,\infty } \right)$. Luego se calcula el signo de la derivada en cada intervalo para determinar si la función es creciente o decreciente en dichos intervalos; para ello, se escoge un número dentro de cada intervalo y se evalúa la deriva en él; el signo del valor de la derivada determina si la función es creciente o decreciente en el intervalo, según se indica en la siguiente tabla.
Intervalo Valor de $x$ seleccionado Valor de $f'$ evaluada en $x$ $f'$ $f$ $\left( { - \infty , - 2} \right)$ $x = - 3$ $f'\left( { - 3} \right) = - 2\left( {\left( { - 3} \right) + 2} \right) = 2$ $+$ Creciente sobre $\left( { - \infty , - 2} \right)$ $\left( { - 2,\infty } \right)$ $x=0$ $f'\left( 0 \right) = - 2\left( {\left( 0 \right) + 2} \right) = - 4$ $-$ Decreciente sobre $\left( { - 2,\infty } \right)$ La siguiente gráfica confirma la información de la tabla.
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Ejemplo 2
$y = {x^3} - 3{x^2}$
Primero se determina la derivada de $f$:
$f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 3x\left( {x - 2} \right)$
Después se encuentran los números críticos igualando la derivada a cero, es decir, $f'\left( x \right) = 0$:
$f'\left( x \right) = 3x\left( {x - 2} \right) = 0$
La igualdad anterior se cumple en los números críticos $x = 0$ y $x = 2$; estos números dividen al dominio en tres intervalos: $\left( { - \infty ,0} \right)$, $\left( {0,2} \right)$ y $\left( {2,\infty } \right)$. Después se calcula el signo de la derivada en cada intervalo para determinar si la función es creciente o decreciente en dichos intervalos; para ello, se escoge un número dentro de cada intervalo y se evalúa la deriva en él; el signo del valor de la derivada determina si la función es creciente o decreciente en el intervalo, según se indica en la siguiente tabla.
Intervalo Valor de $x$ seleccionado Valor de $f'$ evaluada en $x$ $f'$ $f$ $\left( { - \infty ,0} \right)$ $x = - 1$ $f'\left( { - 1} \right) = 3\left( { - 1} \right)\left( {\left( { - 1} \right) - 2} \right) = 9$ $+$ Creciente sobre $\left( { - \infty ,0} \right)$ $\left( {0,2} \right)$ $x = 1$ $f'\left( 1 \right) = 3\left( 1 \right)\left( {\left( 1 \right) - 2} \right) = - 3$ $-$ Decreciente sobre $\left( {0,2} \right)$ $\left( {2,\infty } \right)$ $x = 3$ $f'\left( 3 \right) = 3\left( 3 \right)\left( {\left( 3 \right) - 2} \right) = 9$ $+$ Creciente sobre $\left( {2,\infty } \right)$ La siguiente gráfica confirma la información de la tabla.
El desarrollo de los ejercicios te permitirá inferir, a través del análisis gráfico y algebraico, las relaciones existentes entre la gráfica de una función y su primera derivada: signo de la primera derivada asociada con el crecimiento o decrecimiento de la función.
Analiza la función $f\left( x \right) = {x^3} - 12x$ y contesta las siguientes preguntas; revisa el recurso GeoGebrapara realizar tu análisis.
Dada la función $f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^3}$, responde las siguientes preguntas de opción múltiple.
1. La derivada de la función $f$ es:
2. La función $f$ tiene números críticos en:
3. Los números críticos dividen al dominio de la función en los intervalos:
4. La derivada de la función es negativa en los intervalos:
5. La derivada de la función es positiva en el intervalo:
6. La función es decreciente en los intervalos:
7. La función es creciente en el intervalo: