Procedimientos algebraicos para determinar el límite de funciones

Los registros tabular, gráfico y algebraico se utilizaron para el análisis de funciones alrededor de un punto específico de su gráfica, los cuales, incidieron en el estudio del concepto del límite de una función, así como, en la obtención del límite mediante los límites laterales, esta forma para determinar el límite de funciones es adecuada para la comprensión del concepto del límite de una función, sin embargo, para el cálculo de límites es laboriosa y poco operativa, motivo por el cual, aplicaremos procedimientos algebraicos que permitan simplificar el cálculo de límite de funciones. Las siguientes estrategias son útiles en la obtención de límites de funciones, su deducción no se considera en este material, pero pueden ser consultadas en alguna de las referencias bibliográficas.

1. Límite de una función polinomial

Sea $\mathbf{p\left(x\right)}$ una función polinomial y $\mathbf{a}$ cualquier número de su dominio, el límite se determina con la expresión $\mathbf{\lim_{x\to a}{p\left(x\right)=p\left(a\right)}}$. La aplicación de ésta simplifica el cálculo del límite de una función polinomial al evaluarla en $\mathbf{a}$ , sin embargo, recuerda que el límite de una función es el valor al cual tiende la función cuando $\mathbf{x\longrightarrow a}$ por la izquierda y derecha; no confundir el concepto del límite de una función con el reemplazo de x por a y su evaluación en la función.

2. Límite de una función racional

Sea $\mathbf{r\left(x\right)=\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}}$ una función racional, donde $\mathbf{p\left(x\right)}$ y $\mathbf{q\left(x\right)}$ son polinomios y $\mathbf{a}$ un número de su dominio, tal que $\mathbf{q\left(a\right)\neq0}$ su límite se determina con la expresión $\mathbf{\lim_{x\to a}{r\left(x\right)=r\left(a\right)}}$. Cabe mencionar que la observación realizada para la función polinomial relacionada con la obtención del límite de la función, también, es válida para la función racional.

En la aplicación de ambas estrategias para la obtención del límite de una función cuando $x\longrightarrow a$ considera lo que se te indica:

  • 1) Reemplaza $x$ con $\mathbf{a}$ y avalúa la función.
  • 2) Reemplaza $x$ con $\mathbf{a}$ y avalúa la función, si aparece un cero en el denominador, intenta factorizar y simplificar para no dividir entre cero y nuevamente repite el paso 1.

Cabe mencionar que estas estrategias ya las hemos aplicado con anterioridad en el cálculo de límites de funciones en el apartado aspecto algebraico, sin embargo, las retomamos para la retroalimentación de los procesos algebraicos en el cálculo de límite de funciones.

Estrategias para la obtención de límite de funciones

Obtener el límite de las funciones que se indican:

  1. $f\left(x\right)=2x^3-4x^2-3x+3$, cuando $x\longrightarrow-2$

    Como la función es un polinomio, se aplica la estrategia 1.

    $\lim_{x\to a}{f\left(x\right)=f(a)}$, es decir, $\lim_{x\to -2}{\left(2x^3-4x^2-3x+3\right)=}2\left(-2\right)^3-4\left(-2\right)^2-3\left(-2\right)+3=-23$

    Por lo tanto $\lim_{x\to -2}{\left(2x^3-4x^2-3x+3\right)=f\left(-2\right)}$

  2. $g\left(x\right)=\frac{x^2-9}{x-3}$, cuando $x\longrightarrow3$

    Como la función $g(x)$ es una función racional, se aplica la estrategia 2.

    Al intentar la evaluación de la función en $x=3$, se obtiene $g\left(3\right)=\frac{\left(3\right)^2-9}{3-3}=\frac{9-9}{3-3}=\frac{0}{0}$
    Como en la evaluación de la función se obtuvo una indeterminación, la función puede factorizarse y simplificarse. Para ello, se aplica la factorización de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades y simplificar la función. $\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{\left(\ x\ \ +\ 3\ \right)\left(\ x\ -\ 3\right)}{x-3}=\left(\ x+3\ \right)$, $x\neq3$
    $\lim_{x\to 3}{\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to 3}{\left(x+3\right)}}=6$ $\lim_{x\to 3}{\frac{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{x-3}}{=\lim_{x\to 3}{\left(x+3\right)=}}3+3=6$
  3. $h\left(x\right)=\frac{x^3-8}{x-2}$ cuando $x\longrightarrow2$.

    Como la función $h(x)$ es una función racional, se aplica la estrategia 2.

    Al intentar la evaluación de la función en $x=2$, se obtiene $h\left(2\right)=\frac{\left(2\right)^3-8}{2-2}=\frac{8-8}{2-2}=\frac{0}{0}$
    Como la evaluación de la función se obtuvo una indeterminación, la función puede factorizarse y simplificarse. Para ello, se aplica la factorización de la diferencia de los cubos de dos cantidades y simplificar la función. $\frac{x^3-8}{x-2}=\frac{\left(\ x\ -\ 2\ \right)\left(\ x^2+2x+4\right)}{x-2}=x^2+2x+4$, $x\neq2$
    $\lim_{x\to 2}{\frac{x^3-8}{x-2}}=\lim_{x\to 2}\left(x^2+2x+4\right)=12$ $\lim_{x\to 2}\left(x^2+2x+4\right)=2^2+2\left(2\right)+4=4+4+4=12$
  4. $f\left(x\right)=\frac{x^2-2x-8}{x-4}$ cuando $x\longrightarrow4$

    Como la función $f(x)$ es una función racional, se aplica la estrategia 2.

    Al intentar la evaluación de la función en $x=4$, se obtiene: $f\left(4\right)=\frac{\left(4\right)^2-2\left(4\right)-8}{4-4}=\frac{16-8-8}{4-4}=\frac{0}{0}$
    Como en la evaluación de la función se obtuvo una indeterminación, la función puede factorizarse y simplificarse. Para ello, se aplica la factorización de polinomios de la forma $x^2+bx+c$ y simplifica la función. $\frac{x^2-2x-8}{x-4}=\frac{\left(\ x\ -4\ \ \right)\left(x+2\right)}{x-4}=x+2$, $x\neq4$
    $\lim_{x\to 4}{\frac{x^2-2x-8}{x-4}}=\lim_{x\to 4}\left(x+2\right)=6$ $\lim_{x\to 4}\left(x+2\right)=4+2=6$
  5. $g\left(x\right)=\frac{5x^3-3x^2+10x}{x}$ cuando $x\longrightarrow0$

    Como la función $g(x)$ es una función racional, se aplica la estrategia 2.

    Al intentar la evaluación de la función en $x=0$, se obtiene $f\left(0\right)=\frac{5\left(0\right)^3-3\left(0\right)^2+10\left(0\right)}{0}=\frac{0-0-0}{0}=\frac{0}{0}$
    Como en la evaluación de la función se obtuvo una indeterminación, la función puede factorizarse y simplificarse. Para ello, se aplica la factorización por factor común de los términos de un polinomio. $\frac{5x^3-3x^2+10x}{x}=\frac{x\left(5x^2-3x+10\right)}{x}=5x^2-3x+10$, $x\neq0$
    $\lim_{x\to 0}{\frac{5x^3-3x^2+10x}{x}\ }=\lim_{x\to 0}\left(5x^2-3x+10\right)=10$ $\lim_{x\to 0}\left(5x^2-3x+10\right)=5\left(0\right)^2-3\left(0\right)+10=10$
  6. $h\left(x\right)=\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}$ cuando $x\rightarrow4$

    Como la función $h(x)$ es el cociente de dos funciones y contiene un radical, se aplica la estrategia 2.

    Al intentar la evaluación de la función en $x=4$, se obtiene: $h\left(4\right)=\frac{\sqrt{4+5}-3}{4-4}=\frac{\sqrt9-3}{4-4}=\frac{0}{0}$
    Como la evaluación de la función se obtuvo una indeterminación, la función puede factorizarse y simplificarse, para ello, multiplica la función por el binomio conjugado del numerador y simplificar. $\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}=\frac{\left(\sqrt{x+5}-3\right)\left(\sqrt{x+5}+3\right)}{\left(x-4\right)\left(\sqrt{x+5}+3\right)}=\frac{x+5-9}{\left(x-4\right)\left(\sqrt{x+5}+3\right)}=\frac{x-4}{\left(x-4\right)\left(\sqrt{x+5}+3\right)}=\frac{1}{\sqrt{x+5}+3}$, $x\neq4$
    $\lim_{x\to 4}{\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}\ }=\lim_{x\to 4}\left(\frac{1}{\sqrt{x+5}+3}\right)=\frac{1}{6}$ $\lim_{x\to 4}\left(\frac{1}{\sqrt{x+5}+3}\right)=\frac{1}{\sqrt{4+5}+3}=\frac{1}{\sqrt9+3}=\frac{1}{6}$
  7. $f\left(x\right)=\frac{x-3}{\sqrt{3x}-3}$ cuando $x\rightarrow3$

    Como la función $f(x)$ es el cociente de dos funciones y contiene un radical, se aplica la estrategia 2.

    Al intentar la evaluación de la función en $x=3$, se obtiene $f\left(3\right)=\frac{3-3}{\sqrt9-3}=\frac{0}{0}$
    Como la evaluación de la función se obtuvo una indeterminación, la función puede factorizarse y simplificarse, para ello, multiplicar la función por el binomio conjugado del denominador y simplificar.

    $\frac{x-3}{\sqrt{3x}-3}=\frac{\left(x-3\right)\left(\sqrt{3x}+3\right)}{\left(\sqrt{3x}-3\right)\left(\sqrt{3x}+3\right)}=\frac{\left(x-3\right)\left(\sqrt{3x}+3\right)}{3x-9}$

    $=\frac{\left(x-3\right)\left(\sqrt{3x}+3\right)}{3\left(x-3\right)}=\frac{\sqrt{3x}+3}{3}$, $x\neq3$

    $\lim_{x\to 3}{\frac{x-3}{\sqrt{3x}-3}\ }=\lim_{x\to 3}\left(\frac{\sqrt{3x}+3}{3}\right)=2$ $\lim_{x\to 3}\left(\frac{\sqrt{3x}+3}{3}\right)=\frac{\sqrt{3(3)}+3}{3}=\frac{\sqrt9+3}{3}=\ 2$
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Con este ejercicio determinarás el límite de las funciones que se indican, mediante la aplicación de las estrategias vistas en la obtención del límite de funciones, para que adquieras habilidad y destreza en los procesos algebraicos para el cálculo del límite de funciones.

Aplica las estrategias según correspondan para la obtención del límite de las funciones que se indican. El resultado escríbelo en el recuadro.

  1. $\lim_{x\to 3}{\left(2x^3-5x^2+3x-6\right)=}$

    12

    Como la función es polinomial se aplica la estrategia 1.

    $\lim_{x\to 3}{\left(2x^3-5x^2+3x-6\right)=2\left(3\right)^3-5\left(3\right)^2+3\left(3\right)-6=54-45+9-6=}12$

    Es necesario que escribas las respuestas para recibir retroalimentación.
  2. $\lim_{x\to -4}{\frac{x^2+2x}{x}}=$

    -2

    Como la función es racional se aplica la estrategia 2.

    $\lim_{x\to -4}{\frac{x^2+2x}{x}}=\frac{\left(-4\right)^2+2\left(-4\right)}{-4}=\frac{16-8}{-4}=\frac{8}{-4}=-2$

  3. $\lim_{x\to 5}{\frac{x^2-5x}{x-5}=}$

    5

    Como la función es racional se aplica la estrategia 2, se factoriza para simplificarla y se aplica la estrategia 1.

    $\lim_{x\to 5}{\frac{x^2-5x}{x-5}=\lim_{x\to 5}{\frac{x\left(x-5\right)}{x-5}}}=\lim_{x\to 5}{x}=5$

  4. $\lim_{x\to -2}{\frac{x^2-4}{x+2}=}$

    -4

    Como la función es racional se aplica la estrategia 2, se factoriza para simplificarla y se aplica la estrategia 1.

    $\lim_{x\to -2}{\frac{x^2-4}{x+2}=\lim_{x\to -2}{\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{x+2}=\lim_{x\to -2}{\left(x-2\right)=-2-2=}}}-4$

  5. $\lim_{x\to -3}{\frac{x+3}{x^2-9}=}$

    $-\frac{1}{6}$

    Como la función es racional se aplica la estrategia 2, se factoriza para simplificarla y se aplica la estrategia 1.

    $\lim_{x\to -3}{\frac{x+3}{x^2-9}=\lim_{x\to -3}{\frac{x+3}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}}}=\lim_{x\to -3}{\frac{1}{x-3}=\frac{1}{-3-3}=-\frac{1}{6}}$

  6. $\lim_{x\to 5}{\frac{x^2-2x-15}{x-5}=\lim_{x\to 5}{\frac{\left(x-5\right)\left(x+3\right)}{\left(x-5\right)}}}=\lim_{x\to 5}\left(x+3\right){=}$

    8

    Como la función es racional se aplica la estrategia 2, se factoriza para simplificarla y se aplica la estrategia 1.

    $\lim_{x\to 5}{\frac{x^2-2x-15}{x-5}=\lim_{x\to 5}{\frac{\left(x-5\right)\left(x+3\right)}{\left(x-5\right)}}}=\lim_{x\to 5}\left(x+3\right){=5+3=8}$

  7. $\lim_{x\to 2}{\frac{x-2}{x^3-8}=}$

    $\frac{1}{12}$

    Como la función es racional se aplica la estrategia 2, se factoriza para simplificarla y se aplica la estrategia 1.

    $\lim_{x\to 2}{\frac{x-2}{x^3-8}=\lim_{x\to 2}{\frac{x-2}{\left(x-2\right)\left(x^2-2x+4\right)}}}=\lim_{x\to 2}{=}\frac{1}{x^2-2x+4}=\frac{1}{\left(2\right)^2+2(2)+4}=\frac{1}{12}$

  8. $\lim_{x\to -3}{\frac{x^3+27}{x+3}=}$

    27

    Como la función es racional se aplica la estrategia 2, se factoriza para simplificarla y se aplica la estrategia 1.

    $\lim_{x\to -3}{\frac{x^3+27}{x+3}=\lim_{x\to -3}{\frac{\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)}{\left(x+3\right)}}}=x\to -3\left(x^2-3x+9\right){=}\left(-3\right)^2-3\left(-3\right)+9=27$

  9. $\lim_{x\to 16}{\frac{x-16}{\sqrt x-4}}=$

    8

    Como la función es racional se aplica la estrategia 2, se factoriza para simplificarla y se aplica la estrategia 1.

    $\lim_{x\ to 16}{\frac{x-16}{\sqrt x-4}}=\lim_{x\to 16}{\frac{\left(x-16\right)\left(\sqrt x+4\right)}{\left(\sqrt x-4\right)\left(\sqrt x+4\right)}=\lim_{x\to 16}{\frac{\left(x-16\right)\left(\sqrt x+4\right)}{\left(x-16\right)}=\lim_{x\to 16}{\left(\sqrt x+4\right)}}}=\sqrt{16}+4=8$

  10. $\lim_{x\to 5}{\frac{\sqrt{5x}-5}{x-5}=}$

    $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$

    Como la función es racional se aplica la estrategia 2, se factoriza para simplificarla y se aplica la estrategia 1.

    $\lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{5x}-5}{x-5}=\lim_{x\to 5}\frac{\left(\sqrt{5x}-5\right)\left(\sqrt{5x}+5\right)}{\left(x-5\right)\left(\sqrt{5x}+5\right)}= \lim_{x\to 5}\frac{5x-25}{\left(x-5\right)\left(\sqrt{5x}+5\right)}=$

    $\lim_{x\to 5}\frac{5\left(x-5\right)}{\left(x-5\right)\left(\sqrt{5x}+5\right)}= \lim_{x\to 5}\frac{5}{\sqrt{5x}+5}=\frac{5}{\sqrt{5(5)}+5}=\frac{5}{\sqrt{25}+5}=\frac{1}{2}$