En esta sección vamos a formalizar el concepto intuitivo del límite de una función visto con anterioridad al concepto formal del límite de una función en términos de la aplicación de las tradicionales letras del alfabeto griego $\varepsilon$ y $\delta$ en la definición del límite de una función, puesto que en la definición intuitiva del límite de una función se consideraron los términos imprecisos “$f(x)$ está cercano de $L$”, siempre que “$x$ está cercano de $a$”. Para precisar consideremos el límite de la función $f\left(x\right)=2x+1$ cuando $x\longrightarrow3$, es decir, $\lim_{x\to 3}{\left(2x+1\right)=7}$ y contestemos la pregunta ¿Qué tan cerca de 3 debe estar $x$, para que $f\left(x\right)$ difiera de 7 una distancia menor de $\varepsilon=0.5$?
El video y el recurso GeoGebra tienen el propósito para apoyarte en la comprensión formal del límite de una función. Para contestar la pegunta debemos obtener una $\delta$, tal que $\left|f\left(x\right)-7\right|<0.5$, $0<\left|x-3\right|<\delta$.
A partir de la desigualdad $\left|f\left(x\right)-7\right|<0.5$ realicemos los procesos algebraicos para obtener la $\delta$.
| Expresión | Fundamentación matemática |
|---|---|
| $\left|f\left(x\right)-7\right|<0.5$ | La distancia entre $f(x)$ y 7 es menor que $\varepsilon=0.5$. |
| $\left|2x+1-7\right|<0.5$ | Sustituyendo la función en el valor absoluto. |
| $\left|2x-6\right|<0.5$ | Simplificando la expresión del valor absoluto. |
| $\left|2\left(x-3\right)\right|<0.5$ | Factorizando los términos del valor absoluto. |
| $2\left|\left(x-3\right)\right|<0.5$ | Propiedad del valor absoluto. |
| $\left|\left(x-3\right)\right|<0.25$ | Multiplicando a los lados de la desigualdad por $\frac{1}{2}$ y simplificando. |
| $0<\left|x-3\right|<\delta$ | La $\delta=\frac{\varepsilon}{2}=\frac{0.5}{2}=0.25$ es la obtenida. Cabe mencionar que $0<\left|x-3\right|<\delta$, puesto que $x\neq3$. |
A partir de la desigualdad $\left|f\left(x\right)-7\right|<0.1$ realicemos los procesos algebraicos para obtener la $\delta$.
| Expresión | Fundamentación matemática |
|---|---|
| $\left|f\left(x\right)-7\right|<0.1$ | La distancia entre $f(x)$ y 7 es menor que $\varepsilon=0.1$. |
| $\left|2x+1-7\right|<0.1$ | Sustituyendo la función en el valor absoluto. |
| $\left|2x-6\right|<0.1$ | Simplificando la expresión del valor absoluto. |
| $\left|2\left(x-3\right)\right|<0.1$ | Factorizando los términos del valor absoluto. |
| $2\left|\left(x-3\right)\right|<0.1$ | Propiedad del valor absoluto. |
| $\left|\left(x-3\right)\right|<0.05$ | Multiplicando a los lados de la desigualdad por $\frac{1}{2}$ y simplificando. |
| $0<\left|x-3\right|<\delta$ | La $\delta=\frac{\varepsilon}{2}=\frac{0.1}{2}=0.05$ es la obtenida. Cabe mencionar que $0<\left|x-3\right|<\delta$, puesto que $x\neq3$. |
Para finalizar consideremos $\varepsilon=0.01$ y determinemos una $\delta$, tal que $\left|f\left(x\right)-7\right|<0.01$ siempre que $0<\left|x-3\right|<\delta$. Al igual que en los casos anteriores, apliquemos los procedimientos algebraicos a la expresión $\left|f\left(x\right)-7\right|<0.01$ para obtener la $\delta$.
A partir de la desigualdad $\left|f\left(x\right)-7\right|<0.01$ realicemos los procesos algebraicos para obtener la $\delta$.
| Expresión | Fundamentación matemática |
|---|---|
| $\left|f\left(x\right)-7\right|<0.01$ | La distancia entre $f(x)$ y 7 es menor que $\varepsilon=0.01$. |
| $\left|2x+1-7\right|<0.01$ | Sustituyendo la función en el valor absoluto. |
| $\left|2x-6\right|<0.01$ | Simplificando la expresión del valor absoluto. |
| $\left|2\left(x-3\right)\right|<0.01$ | Factorizando los términos del valor absoluto. |
| $2\left|\left(x-3\right)\right|<0.01$ | Propiedad del valor absoluto. |
| $\left|\left(x-3\right)\right|<0.005$ | Multiplicando a los lados de la desigualdad por $\frac{1}{2}$ y simplificando. |
| $0<\left|x-3\right|<\delta$ | La $\delta=\frac{\varepsilon}{2}=\frac{0.01}{2}=0.005$ es la obtenida. Cabe mencionar que $0<\left|x-3\right|<\delta$, puesto que $x\neq3$. |
En seguida se generalizan los casos anteriores considerando una $\varepsilon>0$ y el problema consiste en determinar una $\delta>0$, tal que $\left|f\left(x\right)-7\right|<\varepsilon$, siempre que $0<\left|x-3\right|<\delta$. Se aplican los mismos procedimientos algebraicos como en los casos anteriores.
| Expresión | Fundamentación matemática |
|---|---|
| $\left|f\left(x\right)-7\right|<\varepsilon$ | La distancia entre $f(x)$ y 7 es menor que $\varepsilon$. |
| $\left|2x+1-7\right|<\varepsilon$ | Sustituyendo la función en el valor absoluto. |
| $\left|2x-6\right|<\varepsilon$ | Simplificando la expresión del valor absoluto. |
| $\left|2\left(x-3\right)\right|<\varepsilon$ | Factorizando los términos del valor absoluto. |
| $2\left|\left(x-3\right)\right|<\varepsilon$ | Propiedad del valor absoluto. |
| $\left|\left(x-3\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2}$ | Multiplicando a los lados de la desigualdad por $\frac{1}{2}$ y simplificando. |
| $0<\left|x-3\right|<\delta$ | La $\delta=\frac{\varepsilon}{2}$ es la obtenida. Cabe mencionar que $0<\left|x-3\right|<\delta$, puesto que $x\neq3$. |
Con base en lo anterior tenemos los aprendizajes para la comprensión de la definición formal del límite de una función.
Definición formal del límite de una función
El $\lim_{x\to a}{f\left(x\right)=L}$, si para toda $\varepsilon>0$, existe una $\delta>0$, tal que $\left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon$, siempre que $0<\left|x-a\right|<\delta$; es decir, $0<\left|x-a\right|<\delta\ \Rightarrow \left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon$.
La definición formal del límite de una función, también, se representa en términos de intervalos con las siguientes expresiones:
Las desigualdades $\left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon$ y $0<\left|x-a\right|<\delta$ las podemos representar mediante intervalos.
La representación de la desigualdad $\left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon$ en términos de intervalos es la siguiente:
| Expresión | Fundamentación matemática |
|---|---|
| $\left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon$ | Distancia entre $f(x)$ y $L$ es menor que $\varepsilon$. |
| $-\varepsilon$ < $f\left(x\right)-L$<$\varepsilon$ | Propiedad de las desigualdades. |
| $-\varepsilon+L$<$f\left(x\right)-L+L$<$\varepsilon+L$ | Sumar $L$ a las desigualdades. |
| $L-\varepsilon$ < $f\left(x\right)$ <$\varepsilon+L$ | Resultado de la simplificación |
| $f(x)\in\left(L-\varepsilon,L+\varepsilon\right)$, $\in$ es el símbolo de pertinencia utilizado en conjuntos. | $f(x)$ está en el intervalo abierto $\left(L-\varepsilon,L+\varepsilon\right)$. |
La representación de la desigualdad $0<\left|x-a\right|<\delta$ en términos de intervalos es la siguiente:
| Expresión | Fundamentación matemática |
|---|---|
| $0<\left|x-a\right|<\delta$ | Distancia entre $x$ y $a$ es menor que $\delta$. |
| $-\delta$<$x-a$<$\delta$ | Propiedad de las desigualdades. |
| $-\delta+a$<$x-a+a$<$\delta+a$ | Sumar $a$ a las desigualdades. |
| $a-\delta$ < $x$ < $\delta+a$ | Resultado de la simplificación |
| $x\in\left(a-\delta,a+\delta\right)$ | $x$ está en el intervalo abierto $\left(a-\delta,a+\delta\right)$. |
La definición formal del límite de una función en términos de intervalos es como sigue:
El $\lim_{x\to a}{f\left(x\right)=L}$, si para toda $\varepsilon>0$, existe una $\delta>0$, tal que si $x\in\left(a-\delta,\ a+\delta\right)$, $f(x)\in\left(L-\varepsilon,L+\varepsilon\right)$.
La definición formal del límite de una función se utiliza para la justificación del límite de funciones en términos de $\varepsilon$ y $\delta$, tal como se ilustra con los ejemplos siguientes.
Justificar que $\mathbf{\lim_{x\to 4}{\left(5x-4\right)=16}}$
Dada una $\varepsilon>0$, debemos obtener una $\delta>0$, tal que $\left|\left(5x-4\right)-16\right|<\varepsilon$, siempre que $0<\left|x-4\right|<\delta$, para ello, partimos de la desigualdad $\left|\left(5x-4\right)-16\right|<\varepsilon$, para establecer una relación con $\left|x-4\right|<\delta$, tal como se ilustra a continuación:
| $\left|\left(5x-4\right)-16\right|<\varepsilon$ | La distancia entre la función y su límite es menor que $\varepsilon$. |
| $\left|5x-20\right|<\varepsilon$ | Simplificación de la desigualdad. |
| $\left|5\left(x-4\right)\right|<\varepsilon $ | Factorización de los términos de la desigualdad. |
| $5\left|\left(x-4\right)\right|<\varepsilon$ | Propiedad de las desigualdades. |
| $\left|\left(x-4\right)\right|<\frac{\varepsilon}{5}$ | Multiplicar a los lados de la desigualdad por $\frac{1}{5}$ |
| $0<\left|\left(x-4\right)\right|<\delta$ | $\delta=\frac{\varepsilon}{5}$ es la buscada. Cabe mencionar que $0<\left|x-3\right|<\delta$, puesto que $x\neq3$. |
Comprobación de que $\delta$ cumple con la definición del límite de la función, es decir, $0<\left|x-4\right|<\delta\ \Rightarrow$ $\left|\left(5x-4\right)-16\right|=\left|5x-20\right|=\left|5\left(x-4\right)\right|=5\left|x-4\right|<5\delta=5\left(\frac{\varepsilon}{5}\right)=\varepsilon$ . Se concluye que el $\lim_{x\to 4}{\left(5x-4\right)=16}$.
Justificar que $\lim_{x\to 3}{\frac{x^2-9}{x-3}=6}$
Dada una $\varepsilon>0$, debemos obtener una $\delta>0$, tal que $\left|\frac{x^2-9}{x-3}-6\right|<\varepsilon$, siempre que $\left|\frac{x^2-9}{x-3}-6\right|<\varepsilon$, para ello, partimos de la desigualdad $0<\left|x-3\right|<\delta$, para establecer una relación con $\left|x-3\right|<\delta$, tal como se ilustra a continuación:
| $\left|\frac{x^2-9}{x-3}-6\right|<\varepsilon$ | La distancia entre la función y su límite es menor que $\varepsilon$. |
| $\left|\frac{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{x-3}-6\right|<\varepsilon$ | Factorización de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades. |
| $\left|x+3-6\right|<\varepsilon$ | Simplificación del cociente, cabe mencionar que es válida ya que $x\neq3$. |
| $\left|x-3\right|<\varepsilon$ | Simplificación de los términos de la desigualdad. |
| $0<\left|x-3\right|<\delta$ | $\delta=\varepsilon$ es la buscada. |
Comprobación de que $\delta$ cumple con la definición del límite de la función, es decir, $0<\left|x-3\right|<\delta\ \Rightarrow \left|\frac{x^2-9}{x-3}-6\right|=\left|\frac{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{x-3}-6\right|=\left|x+3-6\right|=\left|x-3\right|<\delta=\varepsilon$. Se concluye que el $\lim_{x\to 3}{\frac{x^2-9}{x-3}=6}$.
Justificar que $\lim_{x\to 3}{\left(2x^2-4x+3\right)=9}$
Dada una $\varepsilon>0$, debemos obtener una $\delta>0$, tal que $\left|2x^2-4x+3-9\right|<\varepsilon$, siempre que $0<\left|x-3\right|<\delta$, para ello, partimos de la desigualdad $\left|2x^2-4x+3-9\right|<\varepsilon$, para establecer una relación con $\left|x-3\right|<\delta$, tal como se ilustra a continuación:
| $|2x^2-4x+3-9|<ε$ | La distancia entre la función y su límite es menor que $\varepsilon$. |
| $\left|2x^2-4x-6\right|<\varepsilon$ | Simplificación de los términos del valor absoluto. |
| $\left|2\left(x^2-2x-3\right)\right|<\varepsilon$ | Factorización de los términos del valor absoluto. |
| $2\left|\left(x^2-2x-3\right)\right|<\varepsilon$ | Propiedad de las desigualdades. |
| $2\left|\left(x-3\right)\left(x+1\right)\right|<\varepsilon$ | Factorización de los términos del valor absoluto. |
| $2\left|5\left(x-3\right)\right|<\varepsilon$ |
Como $x$ está cercano a $3$, entonces $\left|x-3\right|<1$, ahora busquemos una cota para $\left|x+1\right|$; para ello, partamos de $\left|x-3\right|<1$ , es decir, -1 < x-3 < 1, sumando $4$ a las desigualdades, obtenemos la cota 3<x+1<5, para $\delta$. |
| $10\left|\left(x-3\right)\right|<\varepsilon$ | Propiedad de las desigualdades. |
| $\left|x-3\right|<\frac{\varepsilon}{10}$ | Multiplicar los lados de la desigualdad por $\frac{1}{10}$ y simplificar. |
| $0<\left|\left(x-3\right)\right|<\delta$ | Considerando $\delta=$ mínimo $\left\{1,\frac{\varepsilon}{10}\right\}$ |
Comprobación de que δ cumple con la definición del límite de la función, es decir, $0<\left|x-3\right|<\delta\ \Rightarrow \left|2x^2-4x+3-9\right|=\left|2x^2-4x-6\right|=\left|2\left(x^2-2x-3\right)\right|=2\left|\left(x-3\right)\left(x+1\right)\right|<2\left|5\left(x-3\right)\right|<10\left|x-3\right|<10\delta=10\left(\frac{\varepsilon}{10}\right)=\varepsilon$. Se concluye que el $\lim_{x\to 3}{\left(2x^2-4x+3\right)=9}$.
De las comprobaciones realizadas de los límites de funciones mediante la definición formal del límite de una función pueden ser muy complicadas, sin embargo, la comprensión de la definición es lo importante en este material.