Límites de funciones cuando la variable tiende a infinito

Los límites de funciones que hemos analizado y calculado han sido para un valor específico de la variable; en el material procesos infinitos se obtuvieron límites de expresiones matemáticas relacionadas con problemas que en su mayoría involucraron fractales cuando el patrón de comportamiento tendió a infinito de modo discreto, por lo que en este apartado analizaremos y obtendremos el límite de funciones cuando la variable tiende a infinito de manera continua.

Geogebra

Como punto de partida interactúa con el recurso GeoGebra para que explores, visualices y analices a la función $f\left(x\right)=\frac{a}{x^n}$ cuando la variable $x$ tiende a infinito para establecer a qué valor se aproxima la función y su relación con el límite de la función. Cabe mencionar que a es un número real y $n$ un número entero positivo.

Escribir

En las tablas se te presenta la evaluación de la función $f\left(x\right)=\frac{2}{x}$ para algunos valores de $x$ que tienden a $\pm\infty$, con $a=2$, $n=1$, con base en éstas y la interacción que realizaste con el recurso GeoGebra, completa los datos faltantes en las tablas y contesta las preguntas:

$x$ $f\left(x\right)$
1 2
10 0.2
1000 0.002
10000 0.0002
100000
0.00002
1000000 0.000002
$\infty$
0
$x$ $f\left(x\right)$
-1 -2
-10 -0.2
-1000 -0.002
-10000 -0.0002
-100000
-0.00002
-1000000 -0.000002
$-\infty$
0

El valor de la función en $f\left(100000\right)$ es

0.00002

El valor de la función en $f\left(-100000\right)$ es

-0.00002

¿Cuándo $x$ tiende a $+\infty$ a que valor tiende la función $f(x)$?

0

¿Cuándo $x$ tiende a $-\infty$ a que valor tiende la función $f(x)$?

0

¿Cuándo $x$ tiende a $\infty$ a que valor tiende la función $f(x)$?

0

La notación en términos de límites es la siguiente:

$\lim_{x\to +\infty}\frac{2}{x}=0$ y $\lim_{x\to -\infty}\frac{2}{x}=0$

Es necesario que escribas las respuestas para recibir retroalimentación.

Con base en el recurso GeoGebra, así como, tu intuición geométrica y matemática contesta lo que se te pide:

$\lim_{x\to \infty }{\frac{1}{x^2}=}$

0

$\lim_{x\to \infty }{\frac{5}{x^2}}=$

0

$\lim_{x\to \infty }{\frac{-5}{x^3}}$

0

$\lim_{x\to \infty }{\frac{a}{x^n}}=$

0

Como $\lim_{x\to \infty }{\frac{a}{x^n}=0}$, para a cualquier número real y n cualquier número entero positivo. Se concluye que el límite de las funciones especificadas es cero.

Para ampliar, reforzar y profundizar la comprensión de límites de funciones cuando la variable tiende a infinito, continuamos con el análisis de otras funciones.

El recurso GeoGebra te permitirá el análisis del comportamiento gráfico del límite de funciones cuando la variable tiende a infinito.

Geogebra

En las tablas se te presenta la evaluación de la función $f\left(x\right)=\frac{5}{x^2+1}$ para algunos valores de $x$ que tienden a más $\infty$ y a menos $\infty$, $a=5$, $b=1$, con base en éstas y la interacción que realizaste con el recurso Geogebra, completa los datos faltantes y contesta las preguntas:

$x$ $f\left(x\right)$
0 5.0000000000
1 2.5000000000
2 1.0000000000
3 0.5000000000
4 0.2941176471
5 0.1923076923
10
0.0495049505
50 0.0019992003
100 0.0004999500
500 0.0000199999
1000 0.0000050000
$\infty$
0
$x$ $f\left(x\right)$
0 5.0000000000
-1 2.5000000000
-2 1.0000000000
-3 0.5000000000
-4 0.2941176471
-5 0.1923076923
-10
0.0495049505
-50 0.0019992003
-100 0.0004999500
-500 0.0000199999
-1000 0.0000050000
$-\infty$
0

El valor de la función en $f\left(10\right)$ es

0.0495049505

El valor de la función en $f\left(-10\right)$ es

-0.0495049505

¿Cuándo $x$ tiende a $+\infty$ a que valor tiende la función $f(x)$?

0

¿Cuándo $x$ tiende a $-\infty$ a que valor tiende la función $f(x)$?

0

La notación en términos de límites es la siguiente:

$\lim_{x\to \infty ^{+}}{\frac{5}{x^2+1}=0}$ y $\lim_{x\to \infty ^{-}}{\frac{5}{x^2+1}=0}$

El límite de funciones cuando la variable tiende a infinito $\left(\infty\right)$ son útiles para determinar el límite de funciones racionales cuando la variable tiende a infinito, el siguiente ejemplo y ejercicio ilustran su aplicación.

Geogebra

El recurso GeoGebra te permitirá el análisis del comportamiento gráfico del límite de funciones cuando la variable tiende a $\pm\infty$.

La gráfica de la función $f\left(x\right)=\frac{x^2+3}{x^2-3}$ es la mostrada en la figura. Con base en ésta, además, de tu intuición geométrica y matemática contesta la pregunta.

¿Cuál es el $\lim_{x\to \infty }{\frac{x^2+3}{x^2-3}}$?

1

El límite de la función se obtiene al dividir a cada término de la función numerador y denominador entre el máximo exponente de la variable y se aplica el $\lim_{x\to \infty }{\frac{a}{x^r}=0}$, para $a$ cualquier número real y $r$ cualquier número real positivo.

$\lim_{x\to \infty }{\frac{x^2+3}{x^2-3}}=\lim_{x\to \infty }{\frac{\frac{x^2}{x^2}+\frac{3}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}-\frac{3}{x^2}}=\lim_{x\to \infty }{\frac{1+\frac{3}{x^2}}{1-\frac{3}{x^2}}}=\frac{1+0}{1-0}=1}$

Arrastrar

Determina el límite de las funciones que se indican:

  1. $f\left(x\right)=\frac{5x^2+3x+4}{6x^2-x-2}$ cuando $x\longrightarrow\infty$

  2. $g\left(x\right)=\frac{2x^3-4x^2+2x}{3x^3-5}$ cuando $x\longrightarrow\infty$

  3. $h(x)=\frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}}$ cuando $x\longrightarrow\infty$

$\frac{a_n}{b_n}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{5}{6}$

$\lim_{x\to \infty }{\frac{5x^2+3x+4}{6x^2-x-2}=\lim_{x\to \infty }{\frac{\frac{5x^2}{x^2}+\frac{3x}{x^2}+\frac{4}{x^2}}{\frac{6x^2}{x^2}-\frac{x}{x^2}-\frac{2}{x^2}}=\lim_{x\to \infty }{\frac{5+\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}}{6-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}=}}}$

$\lim_{x\to \infty }{\frac{2x^3-4x^2+2x}{3x^3-5}=\lim_{x\to \infty }{\frac{\frac{2x^3}{x^3}-\frac{4x^2}{x^3}+\frac{2x}{x^3}}{\frac{3x^3}{x^3}-\frac{5}{x^3}}}=\lim_{x\to \infty }{\frac{2-\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}}{3-\frac{5}{x^3}}=}}$

$\lim_{x\to \infty }=\frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}}=\lim_{x\to \infty }\frac{\frac{a_{n}x^{n}}{x^{n}}+\frac{a_{n-1}x^{n-1}}{x^{n}}+\frac{a_{n-2}x^{n-2}}{x^{n}}+\cdots +\frac{a_{2}x^{2}}{x^{n}}+\frac{a_{1}x}{x^{n}}+\frac{a_{0}}{x^{n}}}{\frac{b_{n}x^{n}}{x^{n}}+\frac{b_{n-1}x^{n-1}}{x^{n}}+\frac{b_{2}x^{2}}{x^{n}}+\cdots +\frac{b_{2}x^{2}}{x^{n}}+\frac{b_{1}x}{x^{n}}+\frac{b_{0}}{x^{n}}}$