Los límites de funciones que hemos analizado y calculado han sido para un valor específico de la variable; en el material procesos infinitos se obtuvieron límites de expresiones matemáticas relacionadas con problemas que en su mayoría involucraron fractales cuando el patrón de comportamiento tendió a infinito de modo discreto, por lo que en este apartado analizaremos y obtendremos el límite de funciones cuando la variable tiende a infinito de manera continua.
Como punto de partida interactúa con el recurso GeoGebra para que explores, visualices y analices a la función $f\left(x\right)=\frac{a}{x^n}$ cuando la variable $x$ tiende a infinito para establecer a qué valor se aproxima la función y su relación con el límite de la función. Cabe mencionar que a es un número real y $n$ un número entero positivo.
En las tablas se te presenta la evaluación de la función $f\left(x\right)=\frac{2}{x}$ para algunos valores de $x$ que tienden a $\pm\infty$, con $a=2$, $n=1$, con base en éstas y la interacción que realizaste con el recurso GeoGebra, completa los datos faltantes en las tablas y contesta las preguntas:
Con base en el recurso GeoGebra, así como, tu intuición geométrica y matemática contesta lo que se te pide:
Para ampliar, reforzar y profundizar la comprensión de límites de funciones cuando la variable tiende a infinito, continuamos con el análisis de otras funciones.
El recurso GeoGebra te permitirá el análisis del comportamiento gráfico del límite de funciones cuando la variable tiende a infinito.
En las tablas se te presenta la evaluación de la función $f\left(x\right)=\frac{5}{x^2+1}$ para algunos valores de $x$ que tienden a más $\infty$ y a menos $\infty$, $a=5$, $b=1$, con base en éstas y la interacción que realizaste con el recurso Geogebra, completa los datos faltantes y contesta las preguntas:
El límite de funciones cuando la variable tiende a infinito $\left(\infty\right)$ son útiles para determinar el límite de funciones racionales cuando la variable tiende a infinito, el siguiente ejemplo y ejercicio ilustran su aplicación.
La gráfica de la función $f\left(x\right)=\frac{x^2+3}{x^2-3}$ es la mostrada en la figura. Con base en ésta, además, de tu intuición geométrica y matemática contesta la pregunta.
Determina el límite de las funciones que se indican:
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$f\left(x\right)=\frac{5x^2+3x+4}{6x^2-x-2}$ cuando $x\longrightarrow\infty$
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$g\left(x\right)=\frac{2x^3-4x^2+2x}{3x^3-5}$ cuando $x\longrightarrow\infty$
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$h(x)=\frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}}$ cuando $x\longrightarrow\infty$
$\lim_{x\to \infty }{\frac{5x^2+3x+4}{6x^2-x-2}=\lim_{x\to \infty }{\frac{\frac{5x^2}{x^2}+\frac{3x}{x^2}+\frac{4}{x^2}}{\frac{6x^2}{x^2}-\frac{x}{x^2}-\frac{2}{x^2}}=\lim_{x\to \infty }{\frac{5+\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}}{6-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}=}}}$
$\lim_{x\to \infty }{\frac{2x^3-4x^2+2x}{3x^3-5}=\lim_{x\to \infty }{\frac{\frac{2x^3}{x^3}-\frac{4x^2}{x^3}+\frac{2x}{x^3}}{\frac{3x^3}{x^3}-\frac{5}{x^3}}}=\lim_{x\to \infty }{\frac{2-\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}}{3-\frac{5}{x^3}}=}}$
$\lim_{x\to \infty }=\frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}}=\lim_{x\to \infty }\frac{\frac{a_{n}x^{n}}{x^{n}}+\frac{a_{n-1}x^{n-1}}{x^{n}}+\frac{a_{n-2}x^{n-2}}{x^{n}}+\cdots +\frac{a_{2}x^{2}}{x^{n}}+\frac{a_{1}x}{x^{n}}+\frac{a_{0}}{x^{n}}}{\frac{b_{n}x^{n}}{x^{n}}+\frac{b_{n-1}x^{n-1}}{x^{n}}+\frac{b_{2}x^{2}}{x^{n}}+\cdots +\frac{b_{2}x^{2}}{x^{n}}+\frac{b_{1}x}{x^{n}}+\frac{b_{0}}{x^{n}}}$