Criterios de congruencia de triángulos

En este apartado se profundiza el estudio de la congruencia de triángulos, así como, sus criterios de congruencia, los cuales serán utilizados en la demostración de algunas construcciones con regla y compás; y en su aplicación a la solución de problemas.

congruencia de triángulos

Al interactuar con recursos GeoGebra comprenderás los criterios de congruencia de triángulos: Lado-Ángulo-Lado (LAL); Ángulo-Lado-Ángulo (ALA) y Lado-Lado-Lado (LLL), así como su fundamentación empírica para poder aplicarlo en la resolución de problemas de corte geométrico. Lo anterior te permitirá concluir que la congruencia de triángulos requiere únicamente la congruencia de tres de sus partes correspondientes (homólogas). La demostración de estos criterios se hará de forma empírica, al hacer coincidir dos triángulos en todas sus partes, cuando esto sucede los triángulos son congruentes y como consecuencia también lo son sus partes correspondientes.

Geogebra

En este criterio se presenta un recurso GeoGebra con dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendido congruentes. Mediante tu interacción con el recurso descubrirás regularidades que presentan sus partes homólogas para que formules el criterio de congruencia de triángulos LAL.

Según la exploración del recurso y las regularidades que identificaste en la sobreposición del PQR sobre el ABC, contesta la pregunta ¿ABC≅△PQR?, (sí o no) la respuesta escríbela en el recuadro.

Con base en los supuestos de que dos triángulos tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, respectivamente congruentes, se establece la formulación del criterio de congruencia de triángulos LAL.

Formulación del criterio de la congruencia de triángulos LAL

Si dos lados y el ángulo incluido de un triángulo son congruentes con dos lados y el ángulo incluido de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Demostración empírica del criterio de congruencia de triángulos LAL.

Como los triángulos ABC y PQR coinciden en todos sus puntos, se concluye que son triángulos congruentes y que sus partes correspondientes también lo son, es decir, sus ángulos correspondientes tienen la misma medida y sus lados correspondientes la misma longitud, tal como, pudiste apreciar al activar la casilla de control Tesis congruencia LAL.

Arrastrar

Considerando que ABC≅△PQR, arrastra a la siguiente tabla la congruencia que hace falta para completarla.

βε
¯AC¯PR
Ángulos correspondientes αδ
γζ
Lados correspondientes ¯AB¯PQ ¯BC¯QR
Geogebra

Ahora se presenta un recurso GeoGebra que incluye dos triángulos con dos lados homólogos congruentes y un ángulo homólogo congruente no comprendido entre éstos; es decir, no se cumplen los supuestos del criterio de congruencia de triángulos LAL, interactúa con éste para que explores el comportamiento de sus partes homólogas y concluyas la congruencia o no de ambos triángulos.

Con base en la interacción del recurso y las regularidades que identificaste sobre BCD y ABC, contesta la pregunta ¿ABC≅△BCD?, (sí o no) la respuesta escríbela en el recuadro.

Al considerar que los supuestos de la congruencia de triángulos LAL no se cumplen, se llega a la conclusión de que los triángulos no son congruentes. Para que lo sean, el ángulo congruente debe estar incluido entre los dos lados congruentes en cada triángulo.

Geogebra

En este criterio se presenta un recurso GeoGebra que incluye dos triángulos que tienen dos ángulos y el lado adyacente a éstos congruente. Mediante tu exploración con éste descubrirás regularidades que presentan sus partes homólogas para que formules el criterio de congruencia de triángulos ALA.

Con base en la exploración del recurso y las regularidades que identificaste en la sobreposición del PQR sobre el ABC, contesta la pregunta ¿ABC≅△PQR?, (sí o no) la respuesta escríbela en el recuadro.

Con base en los supuestos de que dos triángulos tienen dos ángulos y el lado adyacente (lado comprendido entre ambos ángulos), respectivamente congruentes, se establece la formulación del criterio de congruencia de triángulos ALA.

Formulación del criterio de la congruencia de triángulos ALA

Si dos ángulos y el lado incluido de un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado incluido de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Demostración empírica del criterio de congruencia de triángulos ALA

Como los triángulos ABC y PQR coinciden en todos sus puntos, se concluye que son triángulos congruentes y que sus partes correspondientes también los son, es decir, sus ángulos correspondientes tienen la misma medida y sus lados correspondientes la misma longitud.

Arrastrar

Con base en que ABC≅△PQR arrastra a la tabla la congruencia de las partes correspondientes faltantes.

¯AC¯PR
αε
Ángulos correspondientes
βζ γδ
Lados correspondientes ¯AB¯PQ ¯BC¯QR
Geogebra

Ahora se presenta un recurso GeoGebra que incluye dos triángulos con dos lados homólogos congruentes y un ángulo homólogo congruente no comprendido entre éstos; es decir, no se cumplen los supuestos del criterio de congruencia de triángulos ALA, interactúa con éste para que explores el comportamiento de sus partes homólogas y concluyas la congruencia o no de ambos triángulos.

Con base en la interacción del recurso y las regularidades que identificaste sobre BCD y ABC, contesta la pregunta ¿ABC≅△BCD?, (sí o no) la respuesta escríbela en el recuadro.

Al considerar que los supuestos de la congruencia de triángulos ALA no se cumplen se llega a la conclusión que los triángulos no son congruentes, para que lo sean el ángulo congruente debe estar incluido entre los dos lados congruentes en cada triángulo.

Geogebra

En este criterio se presenta un recurso GeoGebra que incluye a dos triángulos que tienen respectivamente congruentes sus lados homólogos, interactúa con éste para que explores las regularidades que se presentan sus partes homólogas, lo que te permitirá la formulación del criterio de congruencia de triángulos LLL.

Con base en la exploración del recurso y las regularidades que identificaste en la sobreposición del DEF sobre el ABC, contesta la pregunta ¿ABC≅△DEF?, (sí o no) la respuesta escríbela en el recuadro

Con base en los supuestos de que dos triángulos tienen respectivamente congruentes sus lados, se formula el criterio de congruencia de triángulos LLL.

Formulación del criterio de congruencia de triángulos LLL

Si los lados de un triángulo son congruentes con los lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Demostración empírica del criterio de congruencia de triángulos LLL

Como los triángulos ABC y DEF coinciden en todas sus partes, se concluye que son triángulos congruentes y que sus partes correspondientes también los son, es decir, sus ángulos correspondientes tienen la misma medida y sus lados la misma longitud, tal como pudiste constatarlo al hacer clic en la casilla "Tesis triángulos congruentes".

Arrastrar

Considera que ABC≅△DEF y arrastra a la tabla la congruencia de las partes correspondientes.

αε
¯AC¯DF
¯AB¯DE
Ángulos correspondientes
βδ γζ
Lados correspondientes
¯BC¯EF
Arrastrar

Observa los siguientes esquemas. Después arrastra a la tabla el criterio de congruencia de triángulos con base en la congruencia de sus partes homólogas.

Congruencia de triángulos
Congruencia de triángulos
Congruencia de triángulos
Congruencia de triángulos
Congruencia de triángulos
Congruencia de triángulos
LLL
LAL
ALA
LLL
a) d) e) f)