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Actividad final

En esta actividad aplicarás los criterios de congruencia de triángulos en la resolución de problemas de corte geométrico mediante la argumentación deductiva en la validez de afirmaciones geométricas y procesos de solución de problemas, para reafirmar tu aprendizaje sobre el método deductivo.

En la demostración de los siguientes problemas presta atención a la cadena de razonamientos lógicos que se presentan (proposiciones), así como, su validez (razones) y escribe en los recuadros la congruencia de las partes correspondientes, para completar la demostración.

Escribir

Demuestra que la longitud del $\overline {AB}$ inaccesible en una laguna puede determinarse con el método siguiente:

Construcción Procedimiento
Congruencia de triángulos

Para medir la longitud inaccesible $\overline {AB}$, un agrimensor se posicionó en el punto $E$ y midió la longitud del segmento $\overline {BE}$ y lo prolongó hasta el punto $C$ , tal que $\overline {BE} \cong \overline {CE}$, luego midió el segmento $\overline {AE}$ y lo prolongó hasta el punto $D$, tal que $\overline {AE} \cong \overline {DE}$. $\overline {DC} \cong \overline {AB}$ puesto que $\bigtriangleup ABE \cong \bigtriangleup CDE$. Demuestra la validez del método utilizado en la construcción.

Demostración de la validez del método para determinar la longitud inaccesible $\overline {AB}$

Proposiciones Razones
$\overline {BE} \cong \overline {CE}$
Por construcción.
$\overline {AE} \cong \overline {DE}$
Por construcción.
$\sphericalangle AEB \cong \sphericalangle CED$ Teorema. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
${\bigtriangleup ABE \cong \bigtriangleup CDE}$ Criterio de congruencia de triángulos LAL (pasos 1,2 y 3).
$\overline {AB} \cong \overline {CD}$
Definición de congruencia de triángulos.
La demostración realizada valida que $\overline{AB} \cong \overline{CD}$.
Escribir

En la siguiente figura se tiene que $\sphericalangle 1 \cong \sphericalangle 4$ y $\sphericalangle 2 \cong \sphericalangle 3$. Demuestra que $\bigtriangleup I \cong \bigtriangleup II$:

Construcción Procedimiento
Congruencia de triángulos

Hipótesis: $\sphericalangle 1 \cong \sphericalangle 4$ y $\sphericalangle 2 \cong \sphericalangle 3$

Tesis: $\bigtriangleup I \cong \bigtriangleup II$

Demostración

Proposiciones Razones
$\sphericalangle 1 \cong \sphericalangle 4$
Por hipótesis.
${\overline {BD} \cong \overline {BD}}$ Toda figura geométrica es congruente así misma.
$\sphericalangle 2 \cong \sphericalangle 3$ Por hipótesis.
$\bigtriangleup I \cong \bigtriangleup II$
Criterio de congruencia ALA.
La demostración realizada valida que $\bigtriangleup I \cong \bigtriangleup II$.
Escribir

Los puntos $P$, $Q$, $R$ y $S$ son los puntos medios de los lados del cuadrado $ABCD$. Demuestra que $\overline {PS} \cong \overline {PQ}$.

Construcción Procedimiento
Congruencia de triángulos

Hipótesis: $P, Q, R$ y $S$ son los puntos medios de los lados del cuadrado $ABCD$

Tesis: $\overline {PS} \cong \overline {PQ}$

Demostración

Proposiciones Razones
1. $\overline{AP} \cong \overline{PB}$ Por hipótesis P es el punto medio de ${\overline{AB}}$.
2. $\sphericalangle A \cong \sphericalangle B$ Definición geométrica del cuadrado. El cuadrado es un polígono regular.
3. $\overline{AS} \cong \overline{BQ}$ Por hipótesis $S$ y $Q$ son puntos medios del cuadrado $ABCD$.
4. ${\bigtriangleup APS \cong \bigtriangleup PBQ}$
Criterio de congruencia de triángulos LAL.
5. $\overline{PS}\cong{\overline{PQ}}$
Definición de la congruencia de triángulos.
La demostración realizada valida la congruencia de $\overline{PS}\cong\overline{PQ}$. Cabe mencionar que procediendo de la misma manera se demuestra $\overline{PQ}\cong\overline{QR}\cong\overline{RS}\cong\overline{SP}$
Escribir

Los triángulos $\bigtriangleup ACD$ y $\bigtriangleup BCE$ son congruentes. Determina el valor de $x$ $e$ $y$.

Construcción Procedimiento
Congruencia de triángulos $x$:
4
$y$:
12
$x+8=3x$ $3y-5=2y+7$
Restar $x$ a los lados de la ecuación Restar $2y$ a los lados de la ecuación.
$8=2x$ $3y-5-2y=2y+7-2y$
Dividir a los lados de la ecuación por $2$. Simplificar la ecuación: $y-5=7$
$4=x $ Sumar $5$ a los lados de la ecuación: y-5+5=7+5
  Simplificar la ecuación $y=12$