Área acotada con f(x)=x2
Para calcular esta área no se cuenta con una fórmula de la geometría elemental y se hará por el procedimiento de aproximaciones con rectángulos superiores e inferiores como en la sección previa, que muestra las ideas principales de la integral definida de una función.
-
Área para la función f(x)=x2 de x=0 a x=4 aproximada con n rectángulos superiores e inferiores
Los cálculos son similares a los anteriores y solo cambia la función por f(x)=x2.
Para la función f(x)=x2 con n rectángulos superiores en el intervalo de x=0 a x=4, se tiene:
Base de todos los rectángulos: 4/n
Altura del rectángulo i: f(xi)=f(i∙4/n)=(i∙4/n)2 donde xi=i∙4/n con i=1,2,3,…,n
Nota que la altura f(xi) es la mayor de cada intervalo.
ˉA40(n)=(4n)[f(1⋅4n)]+(4n)[f(2⋅4n)]+(4n)[f(3⋅4n)]+ ⋅ ⋅ ⋅ +(4n)[f(n⋅4n)]=(4n)[[1⋅4n]2]+(4n)[[2⋅4n]2]+(4n)[[3⋅4n]2]+ ⋅ ⋅ ⋅ +(4n)[[n⋅4n]2]=(4n)[(1)2(4n)2]+(4n)[(2)2(4n)2]+(4n)[(3)2(4n)2]+ ⋅ ⋅ ⋅ +(4n)[(n)2(4n)2]
=(4n)3[12+22+32+ ∙ ∙ ∙ +n2]∗=(4n)3[n(n+1)(2n+1) 6]
=64n3[2n3+3n2+n 6]=128n3+192n2+64n6n3=643+32n+323n2
Por tanto ˉA40(n)=643+32n+323n2
*Nota: se utilizó la fórmula 12+22+32+ ⋅ ⋅ ⋅ +n2=n(n+1)(2n+1) 6=2n3+3n2+n 6
Por ejemplo, si n=4
ˉA40(4)=643+32n+323n2=643+324+323(4)2=643+324+23=256+96+812=36012=1806=30
ˉA40(8)=643+32n+323n2=643+328+323(8)2=643+4+16=256+48+212=30612=1536=25.5
Para la función f(x)=x2 el número de n rectángulos inferiores, partición en el tiempo de x=0 a x=4, se tiene:
Base de todos los rectángulos: 4/n
Altura del rectángulo i: f(xi)=f((n−i)⋅4n)=((n−i)⋅4n)2
con i=1,2,3,…,n
Nota que la altura f(xi) es la menor de cada intervalo.
El cálculo es similar a lo anterior, pero la altura del primer rectángulo es
f(x1)=f((1−1)∙4n)=((0)∙4n)2=0
y la altura del último rectángulo es
f(xn)=f((n−1)⋅4n)=((n−1)⋅4n)2
A_40(n)=(4n)[f(0∙4n)]+(4n)[f(1∙4n)]+(4n)[f(2∙4n)]+ ∙ ∙ ∙ +(4n)[f((n−1)∙4n)]=(4n)[[1∙4n]2]+(4n)[[2∙4n]2]+(4n)[[3∙4n]2]+ ∙ ∙ ∙ +(4n)[[(n−1)∙4n]2]=(4n)[(1)2(4n)2]+(4n)[(2)2(4n)2]+(4n)[(3)2(4n)2]+ ∙ ∙ ∙ +(4n)[(n−1)2(4n)2]
=(4n)3[12+22+32+ ∙ ∙ ∙ +(n−1)2]∗=(4n)3[(n−1)(n−1+1)(2(n−1)+1) 6]
=64n3[2n3−3n2+n 6]=128n3−192n2+64n6n3=643−32n+323n2
Por tanto A_ 40(n)=643−32n+323n2
*Nota: se utilizó la fórmula 12+22+32+ ∙ ∙ ∙ +n2=n(n+1)(2n+1) 6,con n=n−1
Por ejemplo, si n=4
A_ 4 0(4)=643−324+323(4)2=643−8+23=14
Por ejemplo, si n=8
A_ 4 0(8)=643−328+323(8)2=643−4+16=17.5
Por lo que el Área exacta A aproximada con n = 4 y 8 rectángulos superiores e inferiores de x=0 a x=4 está entre los siguientes valores:
14≤A≤30
17.5≤A≤25.5
El área exacta se determina con el límite de las aproximaciones cuando n tiende a infinito, como se muestra a continuación:
A_ 40(n)≤A≤ ˉA 40(n)
lim
Como
\lim_{n \to \infty}{\underline{A}\ }_0^4\left(n\right)\ =\lim_{n \to \infty}\left[\frac{64}{3}+\frac{32}{n}+\frac{32}{3n^2}\right]\ =\lim_{n \to \infty}\left[\frac{64}{3}+32\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{32}{3}\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]=\frac{64}{3}+32\left(0\right)+\frac{32}{3}\left(0\right)=\frac{64}{3}+0+0=\frac{64}{3}
\lim_{n \to \infty}{\underline{A}\ }_0^4\left(n\right)\ =\lim_{n \to \infty}\left[\frac{64}{3}-\frac{32}{n}+\frac{32}{3n^2}\right]\ =\lim_{n \to \infty}\left[\frac{64}{3}-32\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{32}{3}\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]=\frac{64}{3}-32\left(0\right)+\frac{32}{3}\left(0\right)=\frac{64}{3}-0+0=\frac{64}{3}
Se tiene
\frac{64}{3}\le A\le\ \ \frac{64}{3}
Por lo que el Área exacta de x=0 a x= 4 es:
A=\frac{64}{3}=21.3333...
Ejercicio de escribirAl hacer clic en la siguiente liga se presenta el escenario, parecido al mostrado en la figura, para que lo puedas explorar con detalle: SUMAS f(x)=x^2 – GeoGebra. Posteriormente contesta las preguntas que aparecen en la tabla.
Explora cuidadosamente los escenarios de Geogebra , activando y desactivando los diferentes botones las veces que sea necesario para observar los valores que se presentan.
-
Para f(x)=x^2, con n el número de rectángulos superiores de x=0 a x se sigue el procedimiento de los casos anteriores pero de manera general para cualquier número de rectángulos n y cualquier valor de x donde la función es positiva, sin darle un valor específico.
Base de todos los rectángulos: \frac{x}{n}
Altura del rectángulo i: f\left(x_i\right)=f\left(i\bullet\frac{x}{n}\right)={(i\bullet\frac{x}{n})}^2
donde i=1,\ 2,\ 3,\ \ldots,n con i=1,\ 2,\ 3,\ \ldots,n
El área aproximada denotada por A ̅_0^x (n) se obtiene de la siguiente manera;
{\bar{A}}_0^x\left(n\right)=\left(\frac{x}{n}\right)\left[f(1\cdot\frac{x}{n})\right]+\left(\frac{x}{n}\right)\left[f(2\cdot\frac{x}{n})\right]+\left(\frac{x}{n}\right)\left[f(3\cdot\frac{x}{n})\right]+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\left(\frac{x}{n}\right)\left[f(n\cdot\frac{x}{n})\right] \\=\left(\frac{x}{n}\right)\left(1\cdot\frac{x}{n}\right)^2\ +\left(\frac{x}{n}\right)\left(2\cdot\frac{x}{n}\right)^2+\left(\frac{x}{n}\right)\left(3\cdot\frac{x}{n}\right)^2+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\left(\frac{x}{n}\right)\left(n\cdot\frac{x}{n}\right)^2 \\=\left(\frac{x}{n}\right)1^2\left(\frac{x}{n}\right)^2\ +\left(\frac{x}{n}\right)2^2\left(\frac{x}{n}\right)^2+\left(\frac{x}{n}\right)3^2\left(\frac{x}{n}\right)^2+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\left(\frac{x}{n}\right)n^2\left(\frac{x}{n}\right)^2 \\=\left(\frac{x}{n}\right)^3\left[1^2+2^2+3^2+\ \bullet\ \bullet\ \bullet\ +n^2\right]=\frac{x^3}{n^3}\left[\frac{n(n+1)(2n+1)\ }{6}\right]
=\frac{x^3}{n^3}\left[\frac{2n^3{+3n}^2+n\ }{6}\right]=x^3\left[\frac{2n^3{+3n}^2+n}{6n^3}\right]=x^3\left[\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}\right]
Por tanto {\bar{A}}_0^x\left(n\right)=x^3\left[\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}\right]
Por ejemplo, si x=4 y n=8 se tiene sustituyendo estos valores:
{\bar{A}}_0^4\left(8\right)=4^3\left[\frac{1}{3}+\frac{1}{2(8)}+\frac{1}{6{(8)}^2}\right]=64\left[\frac{1}{3}+\frac{1}{16}+\frac{1}{384}\right]=25.5
Por tanto {\bar{A}}_0^4\left(8\right)=\frac{153}{6}=25.5
Para f(x)=x^2, con n el número de rectángulos inferiores de x=0 a x, se tiene:
Base de todos los rectángulos: \frac{x}{n}
Altura del rectángulo i: f\left(x_i\right)=f\left((i-1)\cdot\frac{x}{n}\right)=\left [\left(i-1\right)\cdot\left(\frac{x}{n}\right) \right ]^{2}
donde el tiempo x_i=i\bullet\frac{x}{n} con i=1,\ 2,\ 3,\ \ldots\ ,n-1
El área aproximada {\underline{A}\ }_0^x\left(n\right) es:
{\underline{A}\ }_0^x\left(n\right)=\left(\frac{x}{n}\right)\left[f(0\cdot\frac{x}{n})\right]+\left(\frac{x}{n}\right)\left[f(1\cdot\frac{x}{n})\right]+\left(\frac{x}{n}\right)\left[f(2\cdot\frac{x}{n})\right]+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\left(\frac{x}{n}\right)\left[f(n-1)\cdot\frac{x}{n}\right] =\left(\frac{x}{n}\right)\left(1\cdot\frac{x}{n}\right)^2\ +\left(\frac{x}{n}\right)\left(2\cdot\frac{x}{n}\right)^2+\left(\frac{x}{n}\right)\left(3\cdot\frac{x}{n}\right)^2+\ \cdot\ \cdot\ \cdot +\left(\frac{x}{n}\right)\left((n-1)\cdot\frac{x}{n}\right)^2 =\left(\frac{x}{n}\right)1^2\left(\frac{x}{n}\right)^2\ +\left(\frac{x}{n}\right)2^2\left(\frac{x}{n}\right)^2+\left(\frac{x}{n}\right)3^2\left(\frac{x}{n}\right)^2+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\left(\frac{x}{n}\right){(n-1)}^2\left(\frac{x}{n}\right)^2 =\left(\frac{x}{n}\right)^3\left[1^2+2^2+3^2+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +{(n-1)}^2\right]
=\frac{x^3}{n^3}\left[\frac{2n^3{-3n}^2+n\ }{6}\right]=x^3\left[\frac{2n^3{-3n}^2+n}{6n^3}\right]=x^3\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}\right]
Por tanto {\underline{A}\ }_0^x\left(n\right)=x^3\left[\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}\right]
Por ejemplo, si x=4 y n=8
{\underline{A}\ }_0^4\left(4\right)=4^3\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{2(8)}+\frac{1}{6{(8)}^2}\right]=64\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}\right]=17.5
Por tanto {\underline{A}\ }_0^4\left(8\right)=17.5
El área exacta A se encuentra entre los siguientes valores: {\underline{A}\ }_0^4\left(8\right)\le A\le\ \ {\bar{A}}_0^4\left(8\right)
17.5\le A\le\ 25.5
El área exacta A(x) se obtiene con el límite de las aproximaciones inferiores y superiores cuando n tiende a infinito, como se muestra a continuación:
{\underline{A}\ }_0^x\left(n\right)\le{A\ }_0^4(x)\le\ \ {\bar{A}\ }_0^x\left(n\right)
\lim_{n \to \infty}{\underline{A}\ }_0^x\left(n\right)\le \lim_{n \to \infty}A\le\ \ \lim_{n \to \infty}{\bar{A}}_0^x\left(n\right)
donde
Área superior: {\bar{A}\ }_0^x\left(n\right)=x^3\left[\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}\right]
Área inferior: 〖▁A 〗_0^x (n)=x^3 [1/3-1/2n+1/(6n^2 )]
\lim_{n \to \infty}{\bar{A}}_0^4\;(n) =\lim_{n \to \infty}\left [ x^{3}\left[\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}\right] \right ] =\lim_{n \to \infty}x^{3}\left[\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{6}\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]=x^{3}\left [ \frac{1}{3}+\frac{1}{2}(0)+\frac{1}{6}(0)\right ]=\frac{1}{3}x^{3}
\lim_{n \to \infty}{\underline{A}\ }_0^x\left(n\right) =\lim_{n \to \infty}\left [ x^{3}\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}\right] \right ] =\lim_{n \to \infty}x^{3}\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{6}\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]=x^{3}\left [ \frac{1}{3}-\frac{1}{2}(0)+\frac{1}{6}(0)\right ]=\frac{1}{3}x^{3}
Se tiene que
\lim_{n \to \infty}{\underline{A}\ }_0^x\left(n\right)\le \lim_{n \to \infty}A_0^x \ \lim_{n \to \infty}{\bar{A}}_0^4\left(n\right)
\frac{1}{3}x^3\le{A\ }_0^x(x)\le\ \ \frac{1}{3}x^3
Por lo que el área exacta bajo la gráfica de la función f(x)=x^2 de x=0 a x está dada por la
Función Área: {A\ }_0^x(x)=\frac{1}{3}x^3
El área exacta A(x) para f(x)=x^2 de x=0 a x=4 es:
A(4)=\frac{1}{3}{(4)}^3=\frac{64}{3}=21.333
Si se quiere calcular el área exacta bajo la gráfica de la función f(x)=x^2, señalada en la figura, de x=2 a x=5 , se puede obtener con la función área como sigue:
Como el área de x=0 a x es A(x)=\frac{1}{3}x^3
Si x=2, el área exacta de x=0 a x=2 es Área $Area \quad A(2)=\frac{1}{3}{(2)}^3=\frac{8}{3}=2.666 \ \ldots\$
Si x=5, el área exacta de x=0 a x=5 es Área $A(5)=\frac{1}{3}{(5)}^3=\frac{125}{3}=41.666\ \ldots\$
Por lo que el área exacta de x=2 a x=5 denotada por A_2^5 es:
A_2^5 = A(5) – A(2) = 39
En general para calcular el área exacta bajo la gráfica de la función f(x)=x^2 \ de\ x=a\ hasta\ x=b, se obtiene con la Función Área A(x)= \frac{1}{3}x^3 y con esta:
{A\ }_a^b= A(x)]ab =A(b)-A(a)=\frac{1}{3}b^3-\frac{1}{3}a^3
Área acotada de f(x)=x^3
Al hacer clic en la siguiente liga se presenta el escenario Geogebra, parecido al mostrado en la figura, para que lo puedas explorar con detalle: Área de f(x)=x^ – GeoGebra. Posteriormente contesta las preguntas que aparecen en la tabla.
Explora cuidadosamente el escenario de Geogebra , activando y desactivando los diferentes botones, las veces que sea necesario, para observar los valores que se presentan. (De manera similar a como se hizo con los escenarios SUMA v(t)=10t y SUMA f(x)=x2). Contesta las preguntas que se plantean
Función Área para la función f(x)=x^3
Siguiendo los procedimientos anteriores para determinar el área aproximada para la función f(x)=x^3 de x=0 a x con n rectángulos superiores e inferiores y el área exacta con los límites correspondientes cuando n tiende a infinito, se obtiene la función área.
Función Área {A\ }_a^b= A(x)]ab =A(b)-A(a)=\frac{1}{4}b^4-\frac{1}{4}a^4
Y el Área exacta para la función f(x)=x^3 de x=a a x=b, ver figura, se obtiene con la Función Área como:
{A\ }_a^b= A(x)]ab =A(b)-A(a)=\frac{1}{4}b^4-\frac{1}{4}a^4
Para f(x)=x^3, con n el número de rectángulos superiores, de x=0 a x se siguen los procedimientos anteriores, donde solo se cambia la función.
Se tiene:
Base de todos los rectángulos:
Altura del rectángulo i: f\left(x_i\right)=f\left(i\cdot\frac{x}{n}\right)={(i\cdot\frac{x}{n})}^3
donde x_i=i\cdot\frac{x}{n} con i=1,\ 2,\ 3,\ \ldots\ ,n
El área aproximada {\bar{A}}_0^x\left(n\right) es:
{\bar{A}\ }_0^x\left(n\right)=\left(\frac{x}{n}\right)\left[f(1\cdot\frac{x}{n})\right]+\left(\frac{x}{n}\right)\left[f(2\cdot\frac{x}{n})\right]+\left(\frac{x}{n}\right)\left[f(3\cdot\frac{x}{n})\right]+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\left(\frac{x}{n}\right)\left[f(n\cdot\frac{x}{n})\right] =\left(\frac{x}{n}\right)\left(1\cdot\frac{x}{n}\right)^3\ +\left(\frac{x}{n}\right)\left(2\cdot\frac{x}{n}\right)^3+\left(\frac{x}{n}\right)\left(3\cdot\frac{x}{n}\right)^3+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\left(\frac{x}{n}\right)\left(n\cdot\frac{x}{n}\right)^3 =\left(\frac{x}{n}\right)1^3\left(\frac{x}{n}\right)^3\ +\left(\frac{x}{n}\right)2^3\left(\frac{x}{n}\right)^3+\left(\frac{x}{n}\right)3^3\left(\frac{x}{n}\right)^3+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\left(\frac{x}{n}\right)n^3\left(\frac{x}{n}\right)^3
{\bar{A}}_0^x\left(n\right) =\left(\frac{x}{n}\right)^4\left[1^3+2^3+3^3+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +n^3\right]=\frac{x^4}{n^4}\left[\frac{n(n+1)\ }{2}\right]^2=\frac{x^4}{n^4}\left[\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}\right] =x^4\left[\frac{n^4+2n^3+n^2}{4n^4}\right]=x^4\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{4n^2}\right]
Se utiliza la fórmula 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2=\left[\frac{n^2+n}{2}\right]^2=\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}
Por tanto {\bar{A}}_0^x\left(n\right)=x^4\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{4n^2}\right]
Por ejemplo, si x=3 y n=6 se tiene:
{\bar{A\ }}_0^3\left(6\right)=3^4\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{2(6)}+\frac{1}{4{(6)}^2}\right]=81\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{12}+\frac{1}{144}\right]=27.5625
Por tanto {\bar{A}\ }_0^3\left(6\right)=27.5625
Para f(x)=x^3, con n el número de rectángulos inferiores, partición de x=0 a x, se tiene:
Base de todos los rectángulos: \frac{x}{n}
Altura del rectángulo i: f\left(x_i\right)=f\left((i-1)\cdot\frac{x}{n}\right)={(i-1)\cdot\frac{x}{n})}^3
donde x_i=i\cdot\frac{x}{n} con con \ i=1,\ 2,\ 3,\ \ldots\ ,n
El área aproximada {\underline{A}\ }_0^x\left(n\right) es:
{\underline{A}\ }_0^x\left(n\right)=\left(\frac{x}{n}\right)\left[f(1\cdot\frac{x}{n})\right]+\left(\frac{x}{n}\right)\left[f(2\cdot\frac{x}{n})\right]+\left(\frac{x}{n}\right)\left[f(3\cdot\frac{x}{n})\right]+\ \cdot\ \cdot\ \cdot +\left(\frac{x}{n}\right)\left[f\left((n-1)\cdot\frac{x}{n}\right)\right] =\left(\frac{x}{n}\right)\left(1\cdot\frac{x}{n}\right)^3\ +\left(\frac{x}{n}\right)\left(2\cdot\frac{x}{n}\right)^3+\left(\frac{x}{n}\right)\left(3\cdot\frac{x}{n}\right)^3+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\left(\frac{x}{n}\right)\left((n-1)\cdot\frac{x}{n}\right)^3 =\left(\frac{x}{n}\right)1^3\left(\frac{x}{n}\right)^3\ +\left(\frac{x}{n}\right)2^3\left(\frac{x}{n}\right)^3+\left(\frac{x}{n}\right)3^3\left(\frac{x}{n}\right)^3+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\left(\frac{x}{n}\right){(n-1)}^3\left(\frac{x}{n}\right)^3
=\left(\frac{x}{n}\right)^4\left[1^3+2^3+3^3+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +{(n-1)}^3\right]=\frac{x^4}{n^4}\left[\frac{n^4-2n^3+n^2}{4}\right] =x^4\left[\frac{n^4-2n^3+n^2}{4n^4}\right]=x^4\left[\frac{1}{4}-\frac{1}{2n}+\frac{1}{4n^2}\right]
Se utiliza la fórmula 1^3+2^3+3^3+\ldots+(n{-1)}^3=\left[\frac{n(n-1)}{2}\right]^2=\frac{n^4-2n^3+n^2}{4}
Por tanto {4{(6)}^2}\right]=81\left[\frac{1}{4}-\frac{1}{12}+\frac{1}{144}\right]=\frac{81}{4}-\frac{81}{12}+\frac{81}{400} =14.0625
El área exacta A se encuentra entre los siguientes valores:
{\underline{A}\ }_0^3(6))\le A\le\ \ {\bar{A}}_0^3\left(6\right)
14.0625\le A\le\ 27.5625
Área exacta A(x):
{\underline{A}}_0^x\left(n\right)\le A(x)\le\ \ {\bar{A}}_0^x\left(n\right)
\lim_{n \to \infty}\underline{A}\; _{0}^{x}(n)\le A(x)\le\lim_{n \to \infty}\bar{A_{0}^{x}}(n))
Donde:
Área superior: {\bar{A}\ }_0^x\left(n\right)=x^4\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{4n^2}\right]
Área inferior: {\underline{A}\ }_0^x\left(n\right)=x^4\left[\frac{1}{4}-\frac{1}{2n}+\frac{1}{4n^2}\right]
\lim_{n \to \infty}{\bar{A}}_0^4\;(n)=\lim_{n \to \infty}\left[x^4\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{4n^2}\right]\right]=\lim_{n \to \infty}x^4\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]=x^4\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\left(0\right)+\frac{1}{4}\left(0\right)\right]=\frac{1}{4}x^4
\lim_{n \to \infty}\underline{A}\; _{0}^{4}(n)=\lim_{n \to \infty}\left[x^4\left[\frac{1}{4}-\frac{1}{2n}+\frac{1}{4n^2}\right]\right]=\lim_{n \to \infty}x^4\left[\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]=x^4\left[\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\left(0\right)+\frac{1}{4}\left(0\right)\right]=\frac{1}{4}x^4
Con lo que se tiene:
\frac{1}{4}x^4\le A(x)\le\ \ \frac{1}{4}x^4
Por tanto, el área exacta para la función f(x)=x^3 de x=0 a x es:
Función Área: A(x)=\frac{1}{4}x^4
El área exacta A_2^6 bajo la gráfica de la función f(x)=x3 de x=2 a x=6, ver figura, se puede obtener de la siguiente manera:
Como el área de x=0 a x está dada por la función área A(x)=\frac{1}{4}x^4
Si x=2 el área exacta de x=0 a x=2 es Área A(2)=\frac{1}{4}{(2)}^4=\frac{16}{4}=4
Si x=6 el área exacta de x=0 a x=6 es Área A(6)=\frac{1}{4}{(6)}^4=\frac{1296}{4}=324 aprox.
Por lo que el área exacta de x=2 a x=6 es:
A_2^6\ =A\left ( 6 \right )-A\left ( 2 \right )=324-4=320
En general para calcular el área exacta bajo la gráfica de la función f(x)=x^3 de x=a a x=b, se obtiene con la Función Área A(x)= \frac{1}{4}x^4 como:
{A\ }_a^b= A(x)]ab =A(b)-A(a)=\frac{1}{4}b^4-\frac{1}{4}a^4