Actividad final

La altura del edificio es la distancia que recorre el objeto en su caída hasta llegar al suelo. Como la velocidad v(t) es la Derivada de distancia d(t), la antiderivada de la velocidad es la distancia.

Con el Teorema Fundamental del Cálculo se tiene que la distancia es:

$d(2.5)=\int_{0}^{2.5}{v\left(t\right)dt=\int_{0}^{2.5}{\left(9.8t\right)dt=\left. 4.9t^2\right]_0^{2.5}=\left[4.9{(2.5)}^2\right]-\left[4.9{(0)}^2\right]=\left[30.625\right]-\left[0\right]=}}30.625$

Por tanto la altura del edificio es 30.625 m

La figura muestra la gráfica del Costo Marginal de producción del problema cuya función es $C^' (x)=60〖(x-5)〗^2$ para x unidades producidas.

Como el Costo Marginal de producción $C^' (x)$ es la Derivada del Costo de producción $C(x)$, se tiene que Costo de producción es la Integral Definida de $C^'(x)$:

$C\left(x\right)=\int_{a}^{b}{C^\prime\left(x\right)dx}$

$C^\prime\left(x\right)=60{(x-5)}^2=60\left(x^2-10x+25\right)={60x}^2-600x+1500$

$C\left(x\right)=\int_{a}^{b}{({60x}^2-600x+1500)dx=\left. {\frac{60}{3}x}^3-{\frac{600}{2}x}^2+1500x\right]_{10}^{15}=\left[{\frac{60}{3}(15)}^3-{\frac{600}{2}(15)}^2+1500(15)\right]-\left[{\frac{60}{3}(10)}^3-{\frac{600}{2}(10)}^2+1500(10)\right]=\left[22500\right]-\left[5000\right]=17500$

Por tanto, el aumento en el costo de producción es $C=17 500 Pesos$

Las gráficas de la razón de generación de ingresos y la razón en el aumento de los costos se tienen la figura.

Solución a)

El uso de la máquina es rentable cuando los ingresos son mayores que los costos, lo cual sucede cuando la razón de generación de ingresos es mayor a la razón en el aumento de los costos, desde t=0 hasta el punto de intersección de las gráficas, como se observa en la figura.

Para determinar el punto de intersección de las razones de Ingresos y de Costos, se igualan y se resuelve la ecuación resultante:

$I^\prime\left(x\right)=C\prime(x) \\6000-20x^2=3000+10x^2\\ 30x^2=3000\\ x^2=100 $

cuya solución es $t\ =10\ \ y\ \ t=\ -10\$, por lo que el valor con significado en el problema es $t =10$ que es el número de años por transcurrir (positivo).

Por tanto, la máquina es rentable durante 10 años.

Solución b)

La ganancia neta G es la diferencia del ingreso I menos el Costo C durante los 10 primeros años: $G=I-C$

El Ingreso y el costo se obtienen con la integral definida de $I^\prime\left(x\right)\quad y\quad C^\prime\left(x\right)$, de t=0 a t=10 años:

$I=\int_{0}^{10}{I^\prime\left(x\right)dx}\ y \ C=\int_{0}^{10}{C^\prime\left(x\right)dx}$

La Ganancia es $G=I-C=\int_{0}^{10}{I^\prime\left(x\right)dx}-\int_{0}^{10}{C^\prime\left(x\right)dx=\int_{0}^{10}\left[{I^\prime\left(x\right)-C}^\prime\left(x\right)\right]dx}$

Como ${I^\prime\left(x\right)-C}^\prime\left(x\right)=\left[6000-20x^2\right]-\left[3000+10x^2\right]=3000-30x^2 $

La Ganancia se puede obtener con

$G=\int_{0}^{10}{\left[3000-30x^2\right]dx=\left. 3000x-10x^3\right]_0^{10}=\left[3000(10)-10{(10)}^3\right]}-\left[3000\left(0\right)-10\left(0\right)^3\right]=30\ 000-10\ 000=20\ 000$

Por tanto la ganancia generada por la máquina es $G=20 000 Dólares$