Segunda forma

Solución de la forma ${ax}^2+bx=0$

Para resolver esta forma se considerarán dos ecuaciones en las que se detallará el procedimiento de solución, observa que cada uno de los ejemplos responde a la forma ${ax}^2+bx=0$ , da clic en cada pestaña para revisarlos:

Solución de la ecuación $5x^2-20x=0$

Esta ecuación tiene la estructura de la forma ${ax}^2+bx=0$, ya que al sustituir los valores $a=5$ y $b=-20$ queda de la siguiente manera:

ecuacion

Como la suma de los términos del lado izquierdo de la ecuación es igual a cero y tienen como factor común la incógnita $x$, este tipo de ecuaciones pueden resolverse por medio de una factorización sencilla y utilizando la propiedad del producto nulo, es decir, la propiedad de cuando el producto de dos números es igual a cero.

Revisa el proceso dando clic en los números

$5x^2-20x=0$

$5x^2-20x=0$

$x(5x-20)=0$

Se factoriza el lado izquierdo de la ecuación, ya que $x(5x-20)=5x^2-20x$.

$5x^2-20x=0$

$x(5x-20)=0$

$x=0$ o $5x-20=0$

Como el producto de $x$ con $5x-20$ es cero, implica que cada uno de los factores puede ser cero.

Se tiene por tanto $x_1=0$

Solución 1, obtenida a partir de $x=0$.

$5x^2-20x=0$

$x(5x-20)=0$

$x=0$ o $5x-20=0$

De $5x-20=0$

Resolviendo la ecuación $5x-20=0$ se encuentra la segunda solución.

$5x^2-20x=0$

$x(5x-20)=0$

$x=0$ o $5x-20=0$

De $5x-20=0$

$5x-20+20=0+20$

Con la intención de despejar la variable $x$, se suma 20 a cada lado de la ecuación.

$5x=20$

Se simplifica la ecuación.

$5x^2-20x=0$

$x(5x-20)=0$

$x=0$ o $5x-20=0$

De $5x-20=0$

$5x-20+20=0+20$

$5x=20$

$\frac{5x}{5}=\frac{20}{5}$

Para continuar el despeje de la variable $x$ se divide entre 5 cada lado de la ecuación.

Se tiene por tanto $x_1=0$

Solución 1, obtenida a partir de $x=0$.

Por lo tanto $x_2=4$

Solución 2, obtenida a partir de $x=4$.

Comprobación

Para realizar la comprobación se sustituye cada una de las soluciones encontradas en la ecuación original y se verifica que se cumpla la igualdad:

Con $x=0$

$5x^2-20x=0$

$5{(0)}^2-20(0)=0$

$5(0)-0=0$

$0-0=0$

$0=0$

Con $x=4$

$5x^2-20x=0$

$5{(4)}^2-20(4)=0$

$5(16)-80=0$

$80-80=0$

$0=0$

Como se cumple la igualdad, las soluciones encontradas son correctas.

Una variante resumida del procedimiento anterior es la siguiente:

Se pueden hacer otras factorizaciones para resolver la ecuación $5x^2-20x=0$, por ejemplo:

$5x^2-20x=5x(x-4)$, por lo que la ecuación equivale a $5x(x-4)$.

Como el producto de los números $5x$ y $x-4$ es cero, implica que $5x=0$ o $x-4=0$.

De $5x=0$ se obtiene $x=\frac{0}{5}=0$ por lo que la solución 1 es $x_1=0$.

De $x-4=0$ se obtiene que la solución 2 es $x_2=4$

Estas son las mismas soluciones encontradas en el ejemplo anterior.

Solución de la ecuación $\frac{4}{3}x^2-7x=0$

Esta ecuación está compuesta por una fracción en el parámetro cuadrático, sin embargo, sigue presentando la misma estructura de la forma ${ax}^2+bx=0$, por lo que el proceso de solución es el mismo que el anterior como se verá a continuación:

Revisa el proceso dando clic en los números

$\frac{4}{3}x^2-7x=0$

$\frac{4}{3}x^2-7x=0$

$x(\frac{4}{3}x-7)=0$

Se factoriza el lado izquierdo de la ecuación, ya que $x(\frac{4}{3}x-7)=\frac{4}{3}x^2-7x$.

$\frac{4}{3}x^2-7x=0$

$x(\frac{4}{3}x-7)=0$

$x=0$ o $(\frac{4}{3}x-7)=0$

Ya que el producto de $x$ con $\frac{4}{3}x-7$ es cero, implica que cada uno de los factores puede ser cero.

Se tiene por tanto $x_1=0$

Solución 1, obtenida a partir de $x=0$.

$\frac{4}{3}x^2-7x=0$

$x(\frac{4}{3}x-7)=0$

$x=0$ o $(\frac{4}{3}x-7)=0$

De $\frac{4}{3}x-7=0$

Al resolver la ecuación se encuentra la otra solución.

$\frac{4}{3}x^2-7x=0$

$x(\frac{4}{3}x-7)=0$

$x=0$ o $(\frac{4}{3}x-7)=0$

De $\frac{4}{3}x-7=0$

$\frac{4}{3}x-7+7=0+7$

Sumando 7 a cada lado de la igualdad.

$\frac{4}{3}x=7$

Simplificando.

$\frac{4}{3}x^2-7x=0$

$x(\frac{4}{3}x-7)=0$

$x=0$ o $(\frac{4}{3}x-7)=0$

De $\frac{4}{3}x-7=0$

$\frac{4}{3}x-7+7=0+7$

$\frac{4}{3}x=7$

$\frac{\frac{4}{3}x}{\frac{4}{3}}=\frac{7}{\frac{4}{3}}$

Dividiendo entre $\frac{4}{3}$ cada lado de la ecuación.

$x=\frac{21}{4}$ por tanto $x_2=\frac{21}{4}$

Simplicando, se obtiene la solución 2.

Comprobación

Para efectuar la comprobación, se sustituye cada una de las soluciones encontradas en la ecuación original $\frac{4}{3}x^2-7x=0$ y se verifica que se cumpla la igualdad:

Para $x_1=0$

$\frac{4}{3}x^2-7x=0$

$\frac{4}{3}(0)^2-7(0)=0$

$\frac{4}{3}(0)-7(0)=0$

$0-0=0$

$0=0$

Para $x_2=\frac{21}{4}$

$\frac{4}{3}x^2-7x=0$

$\frac{4}{3}(\frac{21}{4})^2-7(\frac{21}{4})=0$

$\frac{4}{3}(\frac{441}{16})-(\frac{147}{4})=0$

$\frac{147}{4}-\frac{147}{4}=0$

$0=0$

Como se cumple la igualdad, las soluciones encontradas son correctas.

Para realizar la división de fracciones, sigue este esquema:

$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$