Factorización por tanteo y uso de la propiedad del producto nulo
Una forma de resolver ecuaciones cuadráticas completas es mediante la factorización por tanteo y haciendo uso de la propiedad del producto nulo.
A continuación te presentamos dos ejemplos en los que se indica el paso a paso para su resolución.
Antes de ver el ejemplo, recordemos que un trinomio cuadrado no perfecto es el resultado de multiplicar dos binomios del tipo:
$(x+a)(x+b)$
Donde el valor de $a$ y el valor de $b$ son diferentes.
Así pues, tenemos que:
$(x+a)(x+b)= ax^2+bx+c=0$
Entendido esto ahora resolvamos la ecuación:
$x^2 + 2x - 8 = 0$
Ubicar los valores: $a = 1$ $b = 2$ $c = - 8$
Buscar dos números que multiplicados den el valor de $c$ y a la vez sumados den el valor de $b$. En este caso hay que buscar dos números cuyo producto sea $-8$ y que éstos mismos números sumen $2$.
En este caso tenemos que los valores buscados son: $4$ y $-2$.
$$(x + 4)(x - 2) = 0$$
Y verificamos que en realidad se cumpla que el producto dé como resultado el polinomio $x^2+2x-8=0$ planteado en un inicio:
Multiplicamos extremos por extremos y medios por medios:
Simplificando términos en el lado derecho, comprobamos que es la misma ecuación planteada en un inicio:
Resolvemos ambas ecuaciones aplicando la propiedad de producto nulo y encontramos la solución de la ecuación cuadrática.
Ecuación 1
$x + 4 = 0$
$x = 0 – 4$
$x = -4$
Ecuación 2
$x - 2 = 0$
$x = 0 + 2$
$x = 2$
Estas son las dos soluciones.
Ahora para resolver la ecuación:
$x^2-7x+12=0$
Buscamos dos números que:
multiplicados den $+12$
sumados den $-7$
Para encontrar esos números, se descompone el término independiente (valor $c$) en factores de solamente números primos:
$12=(3)(2)(2)(1)$
Ahora comprobamos que, al formar parejas en las que se usen los factores hallados, multiplicados den $12$ y sumados den $-7$:
Observamos que el segundo renglón es el que cumple con la condición, sin embargo para que la suma sea $-7$, los factores deberán tener signo negativo:
Comprobamos el producto de binomios:
Ordenando términos:
Aplicando la propiedad de producto nulo, tenemos:
Ecuación 1
$x - 3 = 0$
$x = 0 + 3$
$x = 3$
Ecuación 2
$x - 4 = 0$
$x = 0 + 4$
$x = 4$
Estas son las dos soluciones.