Con base en la figura Razón de oro, el punto C divide al segmento ¯AB en “media y extrema razón” cuando la parte mayor de esta división, el segmento ¯AC, es media proporcional entre el segmento total ¯AB, y el segmento de la parte menor ¯BC, es decir, en la proporción ABAC=ACCB, el segmento ¯AC se le llama media proporcional de los segmentos ¯AB y ¯BC y se le conoce como el “segmento áureo del segmento ¯AB”.
La razón de oro (Ø), es el número irracional que proviene del segmento áureo \bar{AC} , por lo que satisface la proporción \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CB}. A las razones que la forman se les conoce como la razón de oro.
Para familiarizarte con la razón de oro, considera la longitud de los segmentos AB=12, AC=7.41641, CB=4.58359 y obtengamos su valor. \frac{AB}{AC}=\frac{12}{7.41641}=1.61803, y \frac{AC}{CB}=\frac{7.41641}{4.58359}=1.61803, por lo que la razón de oro es Ø=1.61803 tomando cinco decimales.
Ahora se generaliza la razón de oro, considerando la longitud de los segmentos AC=x, CB=1 y AB=x+1. Cabe mencionar que no se pierde generalidad para determinar el valor de la razón áurea y en cambio, facilita la operatividad algebraica.
Por ser AC el segmento áureo del segmento AB satisface la proporción \frac{x+1}{x}= \frac{x}{1}, como en toda proporción el producto de los términos medios es igual al producto de los términos extremos, se obtiene la ecuación cuadrática x+1=x^2, y al agrupar sus términos al lado derecho de la ecuación resulta x^2-x-1=0, recordemos que al pasar un término al lado derecho o al lado izquierdo de la ecuación, se le suma el simétrico y se simplifica la ecuación. Al resolver la ecuación cuadrática con la fórmula general, se obtiene x=\frac {1+ \sqrt {5}}{2}=1.61803.
Procedimiento
Fundamentación
x^2-x-1=0
Ecuación cuadrática, donde a es el coeficiente del término cuadrático x^2, b el coeficiente de término lineal x y c, término independiente
x = \frac {-(b) \pm \sqrt {(b)^2 - 4(a)(c)} } { 2(a) }
Fórmula general, en ésta a=1, b=-1 y c=-1
x = \frac {-(-1) \pm \sqrt {(-1)^2 - 4(1)(-1)} } { 2(1) }
Sustitución de a, b y c en la fórmula general
x = \frac {1 \pm \sqrt { 5 } } { 2 }
Realización de operaciones y simplificar
x_1= \frac {1 + \sqrt { 5 } } { 2 } , x_2=\frac {1 - \sqrt { 5 } } { 2 }
Soluciones de la ecuación cuadrática
x=\frac {1+ \sqrt {5}}{2}=1.61803
Considerar a x_1 por ser positiva, ya que x_2 es negativa y carece de sentido en el contexto del problema
Al número irracional obtenido x=\frac {1+ \sqrt {5}}{2}=1.61803=ϕ, se le conoce como la razón de oro y tiene múltiples aplicaciones, entre éstas, la construcción del rectángulo y la espiral de oro que se muestran a continuación.