Primera forma

Solución de la forma $ax^2+c=d$

Para comprender mejor el proceso de solución de la forma $ax^2+c=d$ se muestran tres ejemplos de ecuaciones cuadráticas, las cuales tienen la estructura de este tipo de forma. Da clic en cada pestaña para revisar los ejemplos:

Solución de la ecuación $2x^2-18=0$

Esta ecuación particular corresponde a la forma $ax^2+c=d$ con los valores $a=2$, $c =-18$ y $d=0$, al sustituir estos valores se tiene $(2)x^2+(-18)=(0)$ dando como resultado $2x^2-18=0$.

ecuacion

En el proceso para despejar la incógnita x, se aplican las mismas operaciones que sean pertinentes a los dos lados de la ecuación para conservar la igualdad y obtener ecuaciones equivalentes, es decir, ecuaciones que tengan las mismas soluciones.

A continuación se muestra el proceso detallado para llegar a la solución:

Revisa el proceso dando clic en los números

$2x^2-18=0$

$2x^2-18=0$

$2x^2-18+18=0+18$

Sumar el parámetro independiente a los dos lados de la ecuación, que en este caso es 18.

$2x^2=18$

Simplificar la ecuación.

$2x^2-18=0$

$2x^2-18+18=0+18$

$2x^2=18$

$\frac{2x^2}{2}=\frac{18}{2}$

Dividir entre el parámetro del término cuadrático a ambos lados de la ecuación, que en este caso es 2.

$x^2=9$

Simplificar la ecuación.

$2x^2-18=0$

$2x^2-18+18=0+18$

$2x^2=18$

$\frac{2x^2}{2}=\frac{18}{2}$

$x^2=9$

$\sqrt{x^2}=\pm{}\sqrt{9}$

Extraer la raíz cuadrada a los dos lados de la ecuación, con valores positivo y negativo.

$x=\pm{}\sqrt{9}$

Simplificar la ecuación.

$2x^2-18=0$

$2x^2-18+18=0+18$

$2x^2=18$

$\frac{2x^2}{2}=\frac{18}{2}$

$x^2=9$

$\sqrt{x^2}=\pm{}\sqrt{9}$

$x=\pm{}\sqrt{9}$

$x=\pm{}3$

Simplificar los valores restantes.

$2x^2-18=0$

$2x^2-18+18=0+18$

$2x^2=18$

$\frac{2x^2}{2}=\frac{18}{2}$

$x^2=9$

$\sqrt{x^2}=\pm{}\sqrt{9}$

$x=\pm{}\sqrt{9}$

$x=\pm{}3$

$x_1=3$

Se obtiene la solución 1 , tomando el signo positivo.

$x_2=-3$

Se obtiene la solución 2 , tomando el signo negativo.

Para distinguir los dos valores de $x$ que se obtienen como solución de la ecuación, se le puede poner un subíndice a $x$:

$x_1=3$

$x_1=-3$

Comprobación

Para verificar que las soluciones encontradas son correctas, se sustituye cada solución en la ecuación original, al resolverla se corrobora que se cumpla la igualdad, como se muestra a continuación:

Para $x_1=3$

$2x^2-18=0$

$2({3)}^2-18=0$

$2(9)-18=0$

$18-18=0$

$0=0$

Para $x_2=-3$

$2x^2-18=0$

$2({-3)}^2-18=0$

$2(9)-18=0$

$18-18=0$

$0=0$

Como se cumple la igualdad, las soluciones encontradas son correctas.

Solución de la ecuación $3x^2+2=50$

Esta ecuación también responde a la forma $ax^2+c=d$, sólo que en este caso la ecuación se muestra con signo positivo, a diferencia del ejemplo 1 que se presentaba con signo negativo, pero como tiene la misma estructura el procedimiento es el mismo, a continuación se detalla:

Revisa el proceso dando clic en los números

$3x^2+2=50$

$3x^2+2=50$

$3x^2+2-2=50-2$

Con la finalidad de despejar el término cuadrático se resta 2 en ambos lados de la ecuación.

$3x^2=48$

Simplificar la ecuación.

$3x^2+2=50$

$3x^2+2-2=50-2$

$3x^2=48$

$\frac{{3x}^2}{3}=\frac{48}{3}$

Para continuar el despeje de la variable $x$ se divide entre 3 los dos lados de la ecuación.

$x^2=16$

Simplificar la ecuación.

$3x^2+2=50$

$3x^2+2-2=50-2$

$3x^2=48$

$\frac{{3x}^2}{3}=\frac{48}{3}$

$x^2=16$

$\sqrt{x^2}=\pm{}\sqrt{16}$

Extrae la raíz cuadrada a los dos lados de la ecuación, tomando los valores positivo y negativo de la raíz.

$x=\pm{}4$

Simplificar la ecuación.

$x_1=4$

Se obtiene la solución 1 , tomando el signo positivo.

$x_2=-4$

Se obtiene la solución 2 , tomando el signo negativo.

Comprobación

Se verifica que las soluciones encontradas sean correctas sustituyendo cada solución en la ecuación original 3x^2+2=50 y corroborando que se cumpla la igualdad:

Para $x_1=4$

$3x^2+2=50$

$3{(4)}^2+2=50$

$3(16)+2=50$

$48+2=50$

$50=50$

Para $x_2=-4$

$3x^2+2=50$

$3{(-4)}^2+2=50$

$3(16)+2=50$

$48+2=50$

$50=50$

Como se cumple la igualdad, las soluciones encontradas son correctas.

Solución de la ecuación $x^2+13=4$

Esta ecuación también responde a la forma $ax^2+c=d$ con los valores: $a=1$ , $c=13$ y $d=4$ , ya que al sustituir estos valores en éste se tiene $(1)x^2+(13)=(4)$ y resulta $x^2+13=4$.

ecuacion

Para despejar la incógnita $x$ se invierten las operaciones que contiene la ecuación, obteniendo ecuaciones equivalentes cada vez más simples hasta llegar a la solución.

En los números reales no existe raíz cuadrada de un número negativo, pero sí en los números complejos, donde $i=\sqrt{-1}$ es la unidad imaginaria, por ejemplo: $i=\sqrt{-4}=\sqrt{4(-1)}=(\sqrt{4})( \sqrt{-1})=(2)(i)=2i$.

Una ecuación de segundo grado puede no tener solución en los números reales, pero sí en los números complejos. Los números complejos son de la forma $z=a+bi$, donde $a$ y $b$ son números reales, $a$ es la parte real del número complejo y $b$ es su parte imaginaria. Un ejemplo de un número complejo es $z=3+2i$.

A continuación se muestra el procedimiento para resolver la ecuación $x^2+13=4$ la cual contiene en su solución números complejos, obsérvala con atención.

Revisa el proceso dando clic en los números

$x^2+13=4$

$x^2+13=4$

$x^2+13-13=4-13$

Con la intención de despejar el término cuadrático se resta 13 a los dos lados de la ecuación.

$x^2=-9$

Simplificar la ecuación.

$x^2+13=4$

$x^2+13-13=4-13$

$x^2=-9$

$\sqrt{x^2}=\pm{}\sqrt{-9}$

Se extrae la raíz cuadrada a los dos lados de la ecuación, tomando los valores positivo y negativo.

$x^2+13=4$

$x^2+13-13=4-13$

$x^2=-9$

$\sqrt{x^2}=\pm{}\sqrt{-9}$

$x=\pm{}3i$

Simplificando se obtiene una raíz imaginaria, ya que $\sqrt{-9}=\sqrt{(9)(-1)}=(\sqrt{9})(\sqrt{-1})=3 i$, con $i=\sqrt{(-1)}$.

$x_1=3i$

Se obtiene la solución 1 , tomando el signo positivo.

$x_2=-3i$

Se obtiene la solución 2 , tomando el signo negativo.

Comprobación

Para comprobar que las soluciones encontradas son correctas, se sustituye cada una en la ecuación original $x^2+13=4$ y se verifica que se cumpla la igualdad:

Para $x_1=3i$

$x^2+13=4$

$(3i)^2+13=4$

$(3)^2i^2+13=4$

$9i^2+13=4$

$9(\sqrt{-1})^2+13=4$

$9(-1)+13=4$

$-9+13=4$

$4=4$

Para $x_2=-3i$

$x^2+13=4$

$(-3i)^2+13=4$

$(-3)^2i^2+13=4$

$9i^2+13=4$

$9(\sqrt{-1})^2+13=4$

$9(-1)+13=4$

$-9+13=4$

$4=4$

Como se cumple la igualdad, las soluciones encontradas son correctas.