Si una lata a una temperatura de 70oF se coloca dentro de un refrigerador que tiene una temperatura constante de 35 oF; entonces, la temperatura $T\left( t \right)$ de la lata estará modelada por la siguiente función que depende del tiempo:
$T\left( t \right) = 35 + 35{e^{ - 0.028 \cdot t}}$
Cabe mencionar que esta expresión se obtiene a partir de la Ley de Enfriamiento de Newton, que establece que cuando un cuerpo que se enfría, su temperatura cambia a una rapidez que es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura contante del medio exterior; es decir, que su derivada es proporcionar a la diferencia de las temperaturas.
La fórmula anterior te permite determinar la temperatura de la lata en cualquier instante de tiempo. Por ejemplo, para determinar la temperatura de la lata después de 20 minutos se tiene que:
$T\left( {20} \right) = 35 + 35{e^{ - 0.028 \cdot \left( {20} \right)}} = {55^o}F$
Determina la temperatura de la lata después de 40 minutos. Selecciona la opción correcta.
- T(40) = 44.6oF
- T(40) = 46.6oF
- T(40) = 48.6oF
La temperatura de la lata después de 40 minutos está dada por:
$T\left( {40} \right) = 35 + 35{e^{ - 0.028\left( {40} \right)}} = {46.4^o}F$
¿Cómo determinarías la rapidez instantánea de la temperatura de la lata cuando han transcurrido 20 minutos? Selecciona la opción correcta.
- Evaluar el tiempo indicado en $T\left( t \right) = 35 + 35{e^{ - 0.028 \cdot t}}$ y derivar el resultado
- Derivar la función $T\left( t \right) = 35 + 35{e^{ - 0.028 \cdot t}}$ y evaluar en el tiempo indicado
- No es posible calcular la rapidez instantánea de la temperatura de la lata
Para determinar la rapidez instantánea de la temperatura de la lata se requiere calcular la derivada de la función de temperatura, es decir,$T'\left( t \right) = \frac{d}{{dt}}\left( {35 + 35{e^{ - 0.028 \cdot t}}} \right)$ y evaluarla en el tiempo requerido; recuerda que la derivada de una función proporciona la razón de cambio o rapidez instantánea con la que cambia una variable respecto a otra.
Determina la deriva de la función exponencial $T\left( t \right)$. Selecciona la opción correcta.
- $T'\left( t \right) = - 0.98{e^{ - 0.028 \cdot t}}$
- $T'\left( t \right) = - 0.28{e^{ - 0.028 \cdot t}}$
- $T'\left( t \right) = 0.98{e^{ - 0.028 \cdot t}}$
$\eqalign{ & T'\left( t \right) = \frac{d}{{dt}}\left( {35 + 35{e^{ - 0.028 \cdot t}}} \right) \cr & T'\left( t \right) = \frac{d}{{dt}}\left( {35} \right) + \frac{d}{{dt}}\left( {35{e^{ - 0.028 \cdot t}}} \right) \cr & T'\left( t \right) = 35{e^{ - 0.028 \cdot t}}\frac{d}{{dt}}\left( { - 0.028 \cdot t} \right) \cr & T'\left( t \right) = 0.98{e^{ - 0.028 \cdot t}} \cr} $
Determina rapidez instantánea con que cambia la temperatura cuando han transcurrido 40 minutos. Selecciona la opción correcta.
- $T'\left( {40} \right) = - 0.4198\frac{{^oF}}{{\min }}$
- $T'\left( {40} \right) = - 0.2198\frac{{^oF}}{{\min }}$
- $T'\left( {40} \right) = - 0.3198\frac{{^oF}}{{\min }}$
La rapidez instantánea con que cambia la temperatura cuando han transcurrido 40 minutos está dada por:
$T'\left( {40} \right) = - 0.98{e^{ - 0.028 \cdot \left( {40} \right)}} = - 0.3198\frac{{^oF}}{{\min }}$