Determina la derivada de las siguientes funciones. Selecciona la opción correcta.
1. $f\left( x \right) = \frac{{{e^{3x}} - {e^{2x}}}}{{3{e^x}}}$
- $f'\left( x \right) = \frac{{{e^{2x}} - {e^x}}}{3}$
- $f'\left( x \right) = \frac{{2{e^{2x}} - {e^x}}}{3}$
- $f'\left( x \right) = \frac{{2{e^{2x}} - 3{e^x}}}{3}$
$\eqalign{ & f'\left( x \right) = \frac{{\frac{d}{{dx}}\left( {{e^{3x}} - {e^{2x}}} \right) \cdot 3{e^x} - \frac{d}{{dx}}3{e^x} \cdot \left( {{e^{3x}} - {e^{2x}}} \right)}}{{{{\left( {3{e^x}} \right)}^2}}} \cr & f'\left( x \right) = \frac{{\left( {3{e^{3x}} - 2{e^{2x}}} \right) \cdot 3{e^x} - 3{e^x}\left( {{e^{3x}} - {e^{2x}}} \right)}}{{9{e^{2x}}}} \cr & f'\left( x \right) = \frac{{9{e^{4x}} - 6{e^{3x}} - 3{e^{4x}} + 3{e^{3x}}}}{{9{e^{2x}}}} \cr & f'\left( x \right) = \frac{{6{e^{4x}} - 3{e^{3x}}}}{{9{e^{2x}}}} = \frac{{3{e^{2x}}\left( {2{e^{2x}} - {e^x}} \right)}}{{9{e^{2x}}}} \cr & f'\left( x \right) = \frac{{2{e^{2x}} - {e^x}}}{3} \cr} $
2. $f\left( x \right) = \frac{{{{10}^x} + 1}}{{{{10}^x} - 1}}$
- $f'\left( x \right) = \frac{{ - 2 \cdot \ln 10 \cdot {{10}^x}}}{{{{\left( {{{10}^x} - 1} \right)}^2}}}$
- $f'\left( x \right) = \frac{{\ln 10 \cdot {{10}^x}}}{{{{\left( {{{10}^x} - 1} \right)}^2}}}$
- $f'\left( x \right) = \frac{{2 \cdot \ln 10 \cdot {{10}^x}}}{{{{\left( {{{10}^x} - 1} \right)}^2}}}$
$\eqalign{ & f'\left( x \right) = \frac{{\frac{d}{{dx}}\left( {{{10}^x} + 1} \right)\left( {{{10}^x} - 1} \right) - \frac{d}{{dx}}\left( {{{10}^x} - 1} \right)\left( {{{10}^x} + 1} \right)}}{{{{\left( {{{10}^x} - 1} \right)}^2}}} \cr & f'\left( x \right) = \frac{{\ln 10 \cdot {{10}^x}\left( {{{10}^x} - 1} \right) - \ln 10 \cdot {{10}^x}\left( {{{10}^x} + 1} \right)}}{{{{\left( {{{10}^x} - 1} \right)}^2}}} \cr & f'\left( x \right) = \frac{{\ln 10 \cdot {{10}^{2x}} - \ln 10 \cdot {{10}^x} - \ln 10 \cdot {{10}^{2x}} - \ln 10 \cdot {{10}^x}}}{{{{\left( {{{10}^x} - 1} \right)}^2}}} \cr & f'\left( x \right) = \frac{{ - 2 \cdot \ln 10 \cdot {{10}^x}}}{{{{\left( {{{10}^x} - 1} \right)}^2}}} \cr} $
3. $y = \ln \sqrt {3 - {x^2}} $
- $y' = - \frac{3}{{3 - {x^2}}}$
- $y' = - \frac{x}{{3 - {x^2}}}$
- $y' = - \frac{{3x}}{{3 - {x^2}}}$
$y = \ln {\left( {3 - {x^2}} \right)^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}\ln \left( {3 - {x^2}} \right)$
$\eqalign{ & y' = \frac{1}{2}\frac{d}{{dx}}\ln \left( {3 - {x^2}} \right) \cr & y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{3 - {x^2}}}\frac{d}{{dx}}\left( {3 - {x^2}} \right) = \frac{1}{{2\left( {3 - {x^2}} \right)}}\left( { - 2x} \right) \cr & y' = - \frac{x}{{3 - {x^2}}} \cr} $
4. $y = \log {x^x}$
- $y' = \frac{{\ln x}}{{\ln 10}}$
- $y' = \frac{{1 + \ln x}}{{\ln 10}}$
- $y' = \frac{{\ln x}}{{1 + \ln 10}}$
$y = x\log x$
$y' = x\frac{d}{{dx}}\left( {\log x} \right) + \log x\frac{d}{{dx}}\left( x \right)$
$y' = x\left( {\frac{1}{{\ln 10 \cdot x}}} \right) + \log x\left( 1 \right)$
$y' = \frac{1}{{\ln 10}} + \log x$
$\eqalign{ & y' = \frac{{1 + \ln 10 \cdot \log x}}{{\ln 10}} \cr & y' = \frac{{1 + \ln x}}{{\ln 10}} \cr} $
dado que $\ln \left( x \right) = \ln \left( {10} \right) \cdot \log \left( x \right)$
Problema de aplicación
Un tanque contiene una disolución de 100 galones de agua con 20 libras de sal. Una segunda mezcla de agua con sal, que contiene 2 libras de sal por galón, se bombea al tanque con una rapidez de 8 galones/minuto donde se mantiene una mezcla homogénea por agitación; después, la nueva mezcla homogénea sale del tanque a la misma rapidez.
La cantidad de sal $A\left( t \right)$ contenida en el tanque está modelada por la siguiente función que depende del tiempo:
$A\left( t \right) = 200 - 180{e^{ - \frac{2}{{25}} \cdot t}}$
donde $t$ es el tiempo expresado en minutos.
Determina la cantidad de sal en el tanque después de 50 minutos. Selecciona la opción correcta.
- A(50) = 96.7 libras
- A(50) = 86.7 libras
- A(50) = 76.7 libras
La cantidad de sal en el tanque después de 50 minutos está dada por:
$A\left( {50} \right) = 200 - 180{e^{ - \frac{2}{{25}} \cdot \left( {50} \right)}} = 96.7$ libras
¿Cómo determinarías la rapidez instantánea de la disminución de sal en el tambo cuando han transcurrido 50 minutos?
- Derivar la función $A\left( t \right) = 200 - 180{e^{ - \frac{2}{{25}} \cdot t}}$ y evaluar en el tiempo indicado
- Evaluar el tiempo indicado en $A\left( t \right) = 200 - 180{e^{ - \frac{2}{{25}} \cdot t}}$ y derivar el resultado
- No es posible calcular la rapidez instantánea de la temperatura de la lata
Para determinar la rapidez instantánea de la disminución de sal se requiere calcular la derivada de la función $A\left( t \right) = 200 - 180{e^{ - \frac{2}{{25}} \cdot t}}$ y evaluarla en el tiempo requerido; recuerda que la derivada de una función proporciona la razón de cambio o rapidez instantánea con la que cambia una variable respecto a otra.
Determina la deriva de la función exponencial $A\left( t \right)$.
- $A'\left( t \right) = - \frac{{72}}{5}{e^{ - \frac{2}{{25}} \cdot t}}$
- $A'\left( t \right) = - 180{e^{ - \frac{2}{{25}} \cdot t}}$
- $A'\left( t \right) = \frac{{72}}{5}{e^{ - \frac{2}{{25}} \cdot t}}$
$\eqalign{ & A'\left( t \right) = \frac{d}{{dt}}\left( {200 - 180{e^{ - \frac{2}{{25}} \cdot t}}} \right) \cr & A'\left( t \right) = \frac{d}{{dt}}\left( {200} \right) - \frac{d}{{dt}}\left( {180{e^{ - \frac{2}{{25}} \cdot t}}} \right) \cr & A'\left( t \right) = - 180{e^{ - \frac{2}{{25}} \cdot t}}\frac{d}{{dt}}\left( { - \frac{2}{{25}} \cdot t} \right) \cr & A'\left( t \right) = \frac{{72}}{5}{e^{ - \frac{2}{{25}} \cdot t}} \cr} $
Determina rapidez instantánea con que disminuye la sal cuando han transcurrido 50 minutos.
- $A'\left( {50} \right) = 0.2837\frac{{libras}}{{\min }}$
- $A'\left( {50} \right) = 0.2637\frac{{libras}}{{\min }}$
- $A'\left( {50} \right) = 0.2637\frac{{libras}}{{\min }}$
La rapidez instantánea con que cambia la temperatura cuando han transcurrido 40 minutos está dada por:
$A'\left( {50} \right) = \frac{{72}}{5}{e^{ - \frac{2}{{25}} \cdot \left( {50} \right)}} = 0.2637\frac{{libras}}{{\min }}$