La derivada de la función exponencial de base 10

Sea la función exponencial de base 10

$f\left( x \right) = {10^x}$

Fórmula 16

Para determinar su derivada utilizaremos la definición de la derivada, es decir:

$f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}$

$\eqalign{ & f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{{10}^{x + h}} - {{10}^x}}}{h} \cr & f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{{10}^x}{{10}^h} - {{10}^x}}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{{10}^x}\left( {{{10}^h} - 1} \right)}}{h} \cr} $

Dado que el factor $f\left( x \right) = {10^x}$ no depende $h$, entonces se puede extraer del límite:

$f'(x) = {10^x}\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left( {{{10}^h} - 1} \right)}}{h}$

La derivada de la función exponencial de base 10
Ejercicio de escribir

Mediante las siguientes tablas se determinan los límites por la derecha y por la izquierda de 0. Completa las tablas con los datos faltantes.

Tabla 1. Límite por la izquierda de 0
$h$ $\frac{{\left( {{{10}^h} - 1} \right)}}{h}$
-1 0.90000000
-0.1 2.05671765
-0.01 2.27627790
-0.001 2.29993618
-0.0001 2.30232002
-0.00001 2.30255858
-0.000001
2.30258244
-0.0000001
2.30258483
↓ ↓
0 ln(10)
Tabla 2. Límite por la derecha de 0
$h$ $\frac{{\left( {{{10}^h} - 1} \right)}}{h}$
1 9.00000000
0.1 2.58925412
0.01 2.32929923
0.001 2.30523808
0.0001 2.30285021
0.00001 2.30261160
0.000001
2.30258774
0.0000001
2.30258536
↓ ↓
0
ln(10)

A partir de las tablas anteriores, se pueden determinar los límites por la derecha y por la izquierda de cero; es decir, $\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ - }} \frac{{\left( {{{10}^h} - 1} \right)}}{h}$ y $\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{{\left( {{{10}^h} - 1} \right)}}{h}$. . En consecuencia, es posible determinar el valor de $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left( {{{10}^h} - 1} \right)}}{h}$.

Ejercicio de escribir

Determina el valor del límite para los casos faltantes.

De la tabla 1 se tiene que $\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ - }} \frac{{\left( {{{10}^h} - 1} \right)}}{h} = $ ln(10)
De la tabla 2 se tiene que $\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{{\left( {{{10}^h} - 1} \right)}}{h} = $
ln(10)
Por lo tanto, $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left( {{{10}^h} - 1} \right)}}{h} = $
ln(10)

En consecuencia, $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left( {{{10}^h} - 1} \right)}}{h} = \ln \left( {10} \right)$

La función exponencial natural y su derivada

Dado que $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left( {{{10}^h} - 1} \right)}}{h} = \ln \left( {10} \right)$, entonces $\eqalign{ & f'(x) = {10^x}\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left( {{{10}^h} - 1} \right)}}{h} = {10^x} \cdot \ln \left( {10} \right) \cr & f'(x) = \ln \left( {10} \right) \cdot {10^x} \cr}$.

Definición

Si $f(x) = {10^x}$, entonces

$f(x) = \ln \left( {10} \right) \cdot {10^x}$

o

$\frac{d}{{dx}}{10^x} = \ln \left( {10} \right) \cdot {10^x}$

Cuando el exponente es una función de x distinta de la función identidad, entonces se debe aplicar la regla de la cadena:

Definición

Sea $f\left( x \right) = {10^u}$, donde $u$ una función de $x$ derivable; entonces:

$\frac{{d{{10}^u}}}{{dx}} = \left( {\frac{{d{{10}^u}}}{{du}}} \right)\left( {\frac{{du}}{{dx}}} \right) = \ln \left( {10} \right) \cdot {10^u}\left( {\frac{{du}}{{dx}}} \right)$

o

$f'\left( x \right) = \ln \left( {10} \right) \cdot {10^u} \cdot u'\left( x \right)$

Ejemplo

Deriva las siguientes funciones exponenciales.

1.

$f\left( x \right) = {10^{3x}}$

$\eqalign{ & f'\left( x \right) = \ln 10 \cdot {10^{3x}}\left( {\frac{d}{{dx}}3x} \right) \cr & f'\left( x \right) = 3 \cdot \ln 10 \cdot {10^{3x}} \cr} $

2.

$f\left( x \right) = \frac{{{{10}^x}}}{{{{10}^x} + 2}}$

$\eqalign{ & f'\left( x \right) = \frac{{\left( {{{10}^x} + 2} \right)\left( {\ln 10 \cdot {{10}^x}} \right) - \left( {{{10}^x}} \right)\left( {\ln 10 \cdot {{10}^x}} \right)}}{{{{\left( {{{10}^x} + 2} \right)}^2}}} \cr & f'\left( x \right) = \frac{{\left( {\ln 10 \cdot {{10}^x}} \right)\left( {{{10}^x} + 2 - {{10}^x}} \right)}}{{{{\left( {{{10}^x} + 2} \right)}^2}}} \cr & f'\left( x \right) = \frac{{2 \cdot \ln 10 \cdot {{10}^x}}}{{{{\left( {{{10}^x} + 2} \right)}^2}}} \cr} $

3.

$f\left( x \right) = \frac{{{{10}^x}}}{x}$

Utilizamos la derivada de la función exponencial, la regla del cociente y la regla de la cadena.

$\eqalign{ & f'\left( x \right) = \frac{{x \cdot \left[ {\ln 10 \cdot {{10}^x}} \right] - {{10}^x}\left( 1 \right)}}{{{x^2}}} = \frac{{\ln 10 \cdot x \cdot {{10}^x} - {{10}^x}}}{{{x^2}}} \cr & f'\left( x \right) = \frac{{{{10}^x}\left( {\ln 10 \cdot x - 1} \right)}}{{{x^2}}} \cr} $

4.

$f\left( x \right) = \frac{{{{10}^{3x}} - {{10}^{2x}}}}{{{{10}^x}}}$

$\eqalign{ & f'\left( x \right) = \frac{{\frac{d}{{dx}}\left( {{{10}^{3x}} - {{10}^{2x}}} \right) \cdot {{10}^x} - \frac{d}{{dx}}{{10}^x} \cdot \left( {{{10}^{3x}} - {{10}^{2x}}} \right)}}{{{{\left( {{{10}^x}} \right)}^2}}} \cr & f'\left( x \right) = \frac{{\left( {3 \cdot \ln 10 \cdot {{10}^{3x}} - 2 \cdot \ln 10 \cdot {{10}^{2x}}} \right) \cdot {{10}^x} - \ln 10 \cdot {{10}^x}\left( {{{10}^{3x}} - {{10}^{2x}}} \right)}}{{{{10}^{2x}}}} \cr & f'\left( x \right) = \frac{{3 \cdot \ln 10 \cdot {{10}^{4x}} - 2 \cdot \ln 10 \cdot {{10}^{3x}} - \ln 10 \cdot {{10}^{4x}} + \ln 10 \cdot {{10}^{3x}}}}{{{{10}^{2x}}}} \cr & f'\left( x \right) = \frac{{2 \cdot \ln 10 \cdot {{10}^{4x}} - \ln 10 \cdot {{10}^{3x}}}}{{{{10}^{2x}}}} = \frac{{\ln 10 \cdot {{10}^{3x}}\left( {2 \cdot {{10}^x} - 1} \right)}}{{{{10}^{2x}}}} \cr & f'\left( x \right) = \ln 10 \cdot {10^x}\left( {2 \cdot {{10}^x} - 1} \right) \cr} $
Ejercicios de selección

Determina la deriva de las siguientes funciones exponenciales.

1. $f\left( x \right) = 3 \cdot {10^x}$

  • $f'\left( x \right) = 3 \cdot \ln {10^x} \cdot {10^x}$
  • $f'\left( x \right) = 3 \cdot \ln 10 \cdot {10^x}$
  • $f'\left( x \right) = \ln 10 \cdot {10^x}$

2. $f\left( x \right) = {10^{\sin \left( {2x} \right)}}$

  • $f'\left( x \right) = \ln 10 \cdot \sin \left( {3x} \right) \cdot {10^{\cos \left( {3x} \right)}}$
  • $f'\left( x \right) = 3 \cdot \ln 10 \cdot \sin \left( {3x} \right) \cdot {10^{\cos \left( {3x} \right)}}$
  • $f'\left( x \right) = - 3 \cdot \ln 10 \cdot \sin \left( {3x} \right) \cdot {10^{\cos \left( {3x} \right)}}$

3. $f\left( x \right) = {10^{{x^3}}}$

  • $f'\left( x \right) = \ln 10 \cdot 3{x^3} \cdot {10^{{x^3}}}$
  • $f'\left( x \right) = \ln 10 \cdot 3x \cdot {10^{{x^3}}}$
  • $f'\left( x \right) = \ln 10 \cdot 3 \cdot {10^{{x^3}}}$