Considera un cultivo bacteriano que tiene inicialmente un bacilo E. coli; éste se reproduce por fisión binaria cada 20 minutos, intervalo conocido como tiempo de generación; es decir, la cantidad de bacterias se duplica cada 20 minutos. En la tabla 1 se señala el crecimiento bacteriano, donde $t$ es el tiempo en minutos y $f\left( t \right)$ es la cantidad de bacterias.
| $t$ | $f\left( t \right)$ | |
|---|---|---|
| Generación 0 | 0 | 1 |
| Generación 1 | 20 | 2 |
| Generación 2 | 40 | 4 |
| Generación 3 | 60 | 8 |
| Generación 4 | 80 | 16 |
| Generación 5 | 100 | 32 |
| Generación 6 | 120 | 64 |
| ... | ... | |
| Generación | 240 | 4,096 |
También se indica la cantidad de bacterias $f\left( t \right)$ como valores enteros; sin embargo, dichos valores también se pueden expresar como valores exponenciales de base 2.
En la tabla 2 se indica la cantidad de bacterias f(t) como valores exponenciales de base 2. Completa los valores faltantes.
A partir de los datos de la segunda tabla es posible deducir la fórmula de una función para calcular el número de bacterias $f\left( t \right)$ a partir del tiempo $t$ ¿Cuál de las siguientes expresiones te permite determinar el patrón de crecimiento para el número de bacterias?
- $f\left( t \right) = {2^t}$
- $f\left( t \right) = {2^{\frac{t}{{20}}}}$
- $f\left( t \right) = {2^{20t}}$
La función exponencial de base 2 para calcular el número de bacterias en función del tiempo $t$ es
$f\left( t \right) = {2^{\frac{t}{{20}}}}$ Fórmula 1
donde $f\left( t \right)$ es el número de bacterias, $t$ es el tiempo transcurrido en minutos y el tiempo de generación es de 20 minutos.
Ejemplo
El número de bacterias en determinado tiempo se puede calcular utilizando la fórmula 1. Para determinar el número de bacterias después de 300 minutos se tiene:
$f\left( {300} \right) = {2^{\frac{{300}}{{20}}}} = 32,768$ bacterias
¿Cuántas bacterias se tienen en 440 minutos? Selecciona la opción correcta.
- 1,048,576
- 2,097,152
- 4,194,304
El número de bacterias se determina utilizando la fórmula 1. Después de 440 minutos se tiene:
$f\left( {300} \right) = {2^{\frac{{440}}{{20}}}} = 4,194,304$ bacterias
Como pudiste observar, la fórmula te permite calcular el número de bacterias en determinado tiempo; pero también te permite calcular el tiempo que debe transcurrir para tener un cierto número de bacterias ¿Sabes cómo hacerlo?
Para determinar el tiempo que debe transcurrir para tener 50,000 bacterias, se sustituye este número en la fórmula $f\left( t \right) = {2^{\frac{t}{{20}}}}$ y se despeja el tiempo t utilizando las leyes de los logaritmos, es decir:
| $50,000 = {2^{\frac{t}{{20}}}}$ | Se sustituye 50,000 en $f\left( t \right)$ |
| $log\left( {50,000} \right) = log\left( {{2^{\frac{t}{{20}}}}} \right)$ | Se aplica el logaritmo en ambos lados de la igualdad |
| $log\left( {50,000} \right) = \frac{t}{{20}}log\left( 2 \right)$ | Por las leyes de los logaritmos |
| $\frac{{log\left( {50,000} \right)}}{{log\left( 2 \right)}} = \frac{t}{{20}}$ | Se despeja $t$ |
| $\frac{t}{{20}} = \frac{{log\left( {50,000} \right)}}{{log\left( 2 \right)}}$ | |
| $t = \frac{{20 \cdot log\left( {50,000} \right)}}{{log\left( 2 \right)}}$ | |
| $t = 312.192809$ |
En consecuencia, el tiempo para tener 50,000 bacterias es de 312.19 minutos; donde el tiempo fue calculado mediante la fórmula:
$t = \frac{{20 \cdot log\left( {50,000} \right)}}{{log\left( 2 \right)}}$Fórmula 2
Mediante la fórmula 2, se puede deducir una expresión para calcular el tiempo necesario para tener $N$ bacterias. Selecciona la opción correcta.
- $t = \frac{{20 \cdot log\left( N \right)}}{{log\left( 2 \right)}}$
- $t = \frac{{N \cdot log\left( {20} \right)}}{{log\left( 2 \right)}}$
- $t = \frac{{20 \cdot log\left( 2 \right)}}{{log\left( N \right)}}$
El tiempo es una función logarítmica que depende del número de bacterias $N$ y está dado por:
$t\left( N \right) = \frac{{20}}{{log\left( 2 \right)}}log\left( N \right)$ Fórmula 3
¿En cuánto tiempo se tienen 100,000 bacterias? Selecciona la opción correcta.
- 312.19 minutos
- 332.19 minutos
- 337.45 minutos
Para calcular el tiempo necesario para tener 100,000 bacterias se emplea la fórmula 3:
$t\left( {100,000} \right) = \frac{{20}}{{log\left( 2 \right)}}log\left( {100,000} \right) = 332.19$ minutos
Rapidez instantánea de crecimiento
Cómo determinarías la rapidez instantánea del crecimiento bacteriano cuando han transcurrido 340 minutos? Selecciona la opción correcta.
- Derivar la función para el crecimiento exponencial $f\left( t \right) = {2^{\frac{t}{{20}}}}$ y evaluar en el tiempo indicado
- Evaluar en el tiempo indicado en $f\left( t \right) = {2^{\frac{t}{{20}}}}$ y derivar el resultado
- No es posible calcular la rapidez instantánea del crecimiento bacteriano
Para determinar la rapidez instantánea del crecimiento bacteriano se requiere calcular la derivada de la función de crecimiento exponencial, es decir, $f'\left( t \right) = \frac{d}{{dt}}\left( {{2^{\frac{t}{{20}}}}} \right)$ y evaluarla en el tiempo requerido; recuerda que la derivada de una función proporciona la razón de cambio o rapidez instantánea con la que cambia una variable respecto a otra.