Degradación radiactiva
La radioactividad es una propiedad de algunos elementos químicos que sufren una desintegración espontánea de su núcleo atómico.
Por ejemplo, el polonio (Po) es un metaloide altamente tóxico y muy radiactivo, que emite continuamente radiaciones alfa, altamente energéticas, capaces de destruir órganos y tejidos vivos.
El polonio aparece en la casilla 84 de la tabla periódica y pertenece al grupo 16; su número atómico (Z) es 84, lo que significa que tiene 84 protones.
El número atómico determina la identidad del átomo; es decir, un átomo que tiene 84 protones corresponde al polonio; con 83 protones corresponderá al bismuto; y con 82 protones, al plomo. Observa la tabla periódica.
Isótopos
Todas las especies de un mismo elemento químico tienen el mismo número de protones, pero pueden tener una variación en el número de neutrones, lo que produce cambios en algunas de sus características y en su comportamiento. A los átomos con mismo número de protones y diferente número de neutrones se les conoce como isótopos. Para el caso del polonio, se conocen 41 isótopos, todos ellos radiactivos. Todos los isótopos de polonio tienen el mismo número de protones (o mismo número atómico, Z=84) pero difieren en el número de masa (A) cuyos valores están el rango de 188 a 219.
Por ejemplo, el isótopo polonio-210 (${}_{84}^{210}Po$), tiene un número de masa A=210; puesto que el número atómico del polonio es Z=84 (número de protones), entonces el número de neutrones es 126 (obtenido de la resta de A y Z).
Al ser radiactivos, todos los isótopos de polonio se desintegran, aunque tienen diferentes tiempos de semidesintegración que van desde algunos milisegundos hasta 102 años. El polonio-210 tiene un tiempo de vida media ($\tau $) de 138 días; es decir, un gramo de polonio-210 se reduce a medio gramo en 138 días. Cuando el núcleo atómico del polonio-210 se desintegra, entonces se transforma en plomo-206 ( ${}_{82}^{206}Pb$) y emite partículas alfa (${}_2^4He$); éstas últimas están formadas por dos protones y dos neutrones. La desintegración del isótopo de polonio-210 se describe en la siguiente ecuación: ${}_{84}^{210}Po \to {}_{82}^{206}Pb + {}_2^4He$ (emisión α)
En la animación se observan las trazas de las partículas alfa resultantes de la degradación del polonio-210. La energía liberada durante el proceso de desintegración radiactiva es enorme; de tal forma que un contenedor almacenando medio gramo de polonio-210 podría alcanzar una temperatura espontánea de 500oC. Por su alta densidad de potencia, el polonio-210 ha sido utilizado como fuente energética en las celdas termoeléctricas de algunos satélites artificiales y sondas lunares.
La ley de desintegración radiactiva
La ley de desintegración radiactiva es una función exponencial decreciente que relaciona la masa no desintegrada con el tiempo transcurrido y se expresa como
$f\left( t \right) = {m_0}{e^{ - \lambda t}}$
$f\left( t \right)$ corresponde a la masa no desintegrada en el tiempo $t$;${m_0}$ es la masa inicial;$\lambda $ es la contante radiactiva, característica de cada material; y $t$ es el tiempo transcurrido. La constante radiactiva se calcula como
$\lambda = \frac{{\ln 2}}{\tau }$
donde $\tau $ es el periodo de semidesintegración. Para el caso del polonio-210, $\tau = 138$ días, entonces
$\lambda = \frac{{\ln 2}}{{138}} = 0.00502281$
En consecuencia, si se tiene inicialmente 100 gramos de polonio-210, la función que relaciona la masa no desintegrada con el tiempo transcurrido se expresa como
$f\left( t \right) = 100{e^{ - 0.00502281t}}$
La tabla 1 indica la masa no desintegrada después de varios periodos de semidesintegración. Observa que la cantidad de polonio-210 se reduce a la mitad cada 138 días. Completa los datos faltantes.
En la figura se muestra el decaimiento del polonio-210 como función del tiempo. En el eje horizontal se indica el tiempo transcurrido, $t$, expresado en días; en el eje vertical, la masa no desintegrada,$f\left( t \right)$. La gráfica de f corresponde a una función exponencial decreciente; observa que la cantidad de polonio-210 decae considerablemente conforme transcurre el tiempo.
Determina la masa no desintegrada del polonio-210 después de 365 días. Selecciona la opción correcta.
- 13.99 gramos
- 14.99 gramos
- 15.99 gramos
La masa no desintegrada se calcula mediante la función $f\left( t \right) = 100{e^{ - 0.00502281t}}$, sustituyendo el tiempo indicado: $f\left( {365} \right) = 100{e^{ - 0.00502281\left( {365} \right)}} = 15.99$ gramos
¿Cómo determinarías la rapidez instantánea de la degradación de la masa del polonio-210 cuando han transcurrido 365 días? Selecciona la opción correcta.
- Derivar la función $f\left( t \right) = 100{e^{ - 0.00502281t}}$ y evaluar en el tiempo indicado
- Evaluar el tiempo indicado en $f\left( t \right) = 100{e^{ - 0.00502281t}}$ y derivar el resultado
- No es posible calcular la rapidez instantánea de la temperatura de la lata
Para determinar la rapidez instantánea de la degradación de la masa del polonio-210 se requiere calcular la derivada de la función de degradación de la masa, es decir, $f'\left( t \right) = \frac{d}{{dt}}\left( {100{e^{ - 0.00502281t}}} \right)$, y evaluarla en el tiempo requerido; recuerda que la derivada de una función proporciona la razón de cambio o rapidez instantánea con la que cambia una variable respecto a otra.
Determina la derivada de la función exponencial $f\left( t \right)$. Selecciona la opción correcta.
- $f'\left( t \right) = 0.502281{e^{ - 0.00502281 \cdot t}}$
- $f'\left( t \right) = 0.502281{e^{0.00502281 \cdot t}}$
- $f'\left( t \right) = - 0.502281{e^{ - 0.00502281 \cdot t}}$
$\eqalign{ & f'\left( t \right) = \frac{d}{{dx}}\left( {100{e^{ - 0.00502281 \cdot t}}} \right) \cr & f'\left( t \right) = 100{e^{ - 0.00502281 \cdot t}} \cdot \frac{d}{{dt}}\left( {0.00502281 \cdot t} \right) \cr & f'\left( t \right) = 100{e^{ - 0.00502281 \cdot t}} \cdot \left( {0.00502281} \right) \cr & f'\left( t \right) = - 0.502281{e^{ - 0.00502281 \cdot t}} \cr} $
Determina rapidez instantánea de la degradación del polonio-210 después de 365 días. Selecciona la opción correcta.
- $f'\left( {365} \right) = - 0.{\text{0803052 }}\frac{{gramos}}{{d\'i a}}$
- $f'\left( {365} \right) = - 0.{\text{0603052 }}\frac{{gramos}}{{d\'i a}}$
- $f'\left( {365} \right) = - 0.{\text{0403052 }}\frac{{gramos}}{{d\'i a}}$
Para determinar la rapidez instantánea de la degradación del polonio se requiere evaluar en el tiempo requerido en $f'\left( t \right) = - 0.502281{e^{ - 0.00502281 \cdot t}}$; recuerda que la derivada de una función proporciona la razón de cambio o rapidez instantánea con la que cambia una variable respecto a otra.
$\eqalign{ & f'\left( {365} \right) = - 0.502281{e^{ - 0.00502281(365)}} \cr & f'\left( {365} \right) = - 0.{\text{0803052}} \cr} $