Derivada de la función logaritmo base 10

Derivada

Si $f\left( x \right) = \log x$, entonces:

$f'\left( x \right) = \frac{1}{{\ln 10 \cdot x}}$

o

$\frac{d}{{dx}}\left( {\log x} \right) = \frac{1}{{\ln 10 \cdot x}}$

Demostración

Sea la función $y = f\left( x \right) = \log x$

$y = \log x$

${10^y} = {10^{\log x}}$

${10^y} = x$

${\left[ {{{10}^y}} \right]^\prime } = {\left[ x \right]^\prime }$

$\ln 10 \cdot {10^y} \cdot y' = 1$

$y' = \frac{1}{{\ln 10 \cdot {{10}^y}}}$

$y' = \frac{1}{{\ln 10 \cdot {{10}^{\left( {\log x} \right)}}}}$

$y' = \frac{1}{{\ln 10 \cdot x}} = \frac{1}{{x\ln 10}}$

Aplica el exponencial base 10 en la ecuación

Dado que la exponencial base 10 y logaritmo base 10 son inversas.

Derivación con la regla de la cadena.

Se obtiene la derivada.

Despeja a $y'$.

Sustitute $y$ por $\log x$.

${10^{\left( {\log x} \right)}} = x$ puesto que el exponencial base 10 y el logaritmo base 10 son operaciones inversas.

Cuando el argumento del logaritmo es una función de x distinta de la función identidad, entonces se debe aplicar la regla de la cadena:

Derivada

Sea $f\left( u \right) = \log u$, donde $u$ una función de $x$ derivable; entonces:

$\frac{d}{{dx}}\left( {\log u} \right) = \frac{1}{{\ln 10 \cdot u}}\frac{{du}}{{dx}}$

o

$f'\left( x \right) = \frac{1}{{\ln 10 \cdot u}}u'\left( x \right)$

Ejemplo

Deriva las siguientes funciones logarítmicas.

1. $y = \log \left( {{x^4} - 2} \right)$

Sea $u = {x^4} - 2$, entonces

$\eqalign{ & \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{{\ln 10 \cdot \left( {{x^4} - 2} \right)}}\frac{d}{{dx}}\left( {{x^4} - 2} \right) \cr & \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{{\ln 10 \cdot \left( {{x^4} - 2} \right)}}\left( {4{x^3}} \right) \cr & \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{4{x^3}}}{{\ln 10 \cdot \left( {{x^4} - 2} \right)}} \cr} $

2. $y = \log \left( {\log x} \right)$

Sea $u = \log x$, entonces

$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{{\ln 10 \cdot \log x}}\frac{d}{{dx}}\left( {\log x} \right)$

$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{{\ln 10 \cdot \log x}}\left( {\frac{1}{{\ln 10 \cdot x}}} \right)$

$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{{\ln {{\left( {10} \right)}^2} \cdot x \cdot \log x}} = \frac{1}{{\ln \left( {10} \right) \cdot x \cdot \ln x}}$

Dado que $\ln \left( x \right) = \ln \left( {10} \right) \cdot \log \left( x \right)$

3. $f\left( x \right) = \log \left( {\sin x} \right)$

Sea $u = \sin x$, entonces

$\eqalign{ & f'\left( x \right) = \frac{1}{{\ln 10 \cdot \sin x}}\frac{d}{{dx}}\left( {\sin x} \right) \cr & f'\left( x \right) = \frac{1}{{\ln 10 \cdot \sin x}}\left( {\cos x} \right) \cr} $

$\eqalign{ & f'\left( x \right) = \frac{{\cos x}}{{\ln 10 \cdot \sin x}} \cr & f'\left( x \right) = \frac{{\cot x}}{{\ln 10}} \cr} $

4. $y = \log \sqrt {1 + 2x} $

$y = \log {\left( {1 + 2x} \right)^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}\log \left( {1 + 2x} \right)$

$y' = \frac{1}{2}\frac{1}{{\ln 10 \cdot \left( {1 + 2x} \right)}}\frac{d}{{dx}}\left( {1 + 2x} \right)$

$\eqalign{ & y' = \frac{1}{2}\frac{1}{{\ln 10 \cdot \left( {1 + 2x} \right)}}\left( 2 \right) \cr & y' = \frac{1}{{\ln 10 \cdot \left( {1 + 2x} \right)}} \cr} $
Ejercicios de selección

Determina la deriva de las siguientes funciones logarítmicas.

1. $y = \log {\left( {x - 2} \right)^2}$

  • $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{2}{{\left( {x - 2} \right)\ln \left( {10} \right)}}$
  • $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{{\left( {x - 2} \right)\ln \left( {10} \right)}}$
  • $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{\ln \left( {10} \right)}}{{2\left( {x - 2} \right)}}$

2. $y = \log \frac{1}{x}$

  • $y' = \frac{{\ln 10}}{x}$
  • $y' = \frac{x}{{\ln 10}}$
  • $y' = \frac{1}{{\ln 10 \cdot x}}$

3. $y = \log \left( {\sec x} \right)$

  • $y' = \frac{{\tan x}}{{\ln 10 \cdot \sec x}}$
  • $y' = \frac{{\tan x}}{{\ln 10}}$
  • $y' = \frac{{{{\tan }^2}x}}{{\ln 10}}$