A la función exponencial cuya base es el número $e$ se le conoce como función exponencial natural. La forma más simple de una función exponencial natural es
$f\left( x \right) = {e^x}$
Fórmula 15
Cabe mencionar que a esta función también se le conoce como función exponencial de base e.
Para determinar la derivada de la exponencial utilizaremos la definición de la derivada, es decir
$f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}$
Dado que $f\left( x \right) = {e^x}$, entonces
$\eqalign{ & f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{e^{x + h}} - {e^x}}}{h} \cr & f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{e^x}{e^h} - {e^x}}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{e^x}\left( {{e^h} - 1} \right)}}{h} \cr} $
Como el factor $f\left( x \right) = {e^x}$ no depende $h$, entonces se puede extraer del límite:
$f'(x) = {e^x}\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left( {{e^h} - 1} \right)}}{h}$
Para calcular el $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left( {{e^h} - 1} \right)}}{h}$ se determinan los límites por la derecha y por la izquierda de 0; es decir, $\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ - }} \frac{{\left( {{e^h} - 1} \right)}}{h}$ y $\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{{\left( {{e^h} - 1} \right)}}{h}$.
Completa las tablas con los datos faltantes.
A partir de las tablas anteriores, se pueden determinar los límites por la derecha y por la izquierda de cero. Y a partir de dichos valores, es posible determinar el valor de $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left( {{e^h} - 1} \right)}}{h}$.
Determina el valor del límite para los casos faltantes.
En consecuencia, $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left( {{e^h} - 1} \right)}}{h} = 1$
Dado que $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left( {{e^h} - 1} \right)}}{h} = 1$, entonces $\eqalign{ & f'(x) = {e^x}\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left( {{e^h} - 1} \right)}}{h} = {e^x}\left( 1 \right) \cr & f'(x) = {e^x} \cr} $
Definición
Si $f(x) = {e^x}$, entonces
$f'(x) = {e^x}$
o
$\frac{{d{e^x}}}{{dx}} = {e^x}$
Cuando el exponente es una función de $x$ distinta de la función identidad, entonces se debe aplicar la regla de la cadena:
Definición
Sea $f\left( x \right) = {e^u}$, donde $u$ una función de $x$ derivable; entonces:
$\frac{{d{e^u}}}{{dx}} = \left( {\frac{{d{e^u}}}{{du}}} \right)\left( {\frac{{du}}{{dx}}} \right) = {e^u}\left( {\frac{{du}}{{dx}}} \right)$
o
$f'\left( x \right) = {e^u} \cdot u'\left( x \right)$
Deriva las siguientes funciones exponenciales.
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1. $f\left( x \right) = {e^{2x}}$ Utilizando la fórmula de la derivada y la regla de la cadena. $\eqalign{ & f'\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {\frac{d}{{dx}}2x} \right) = {e^{2x}}\left( 2 \right) \cr & f'\left( x \right) = 2{e^{2x}} \cr} $ |
2. $f\left( x \right) = {e^{{x^3} + 3x}}$ Utilizando la fórmula de la derivada y la regla de la cadena. $\eqalign{ & f'\left( x \right) = {e^{{x^3} + 3x}}\frac{d}{{dx}}\left( {{x^3} + 3x} \right) \cr & f'\left( x \right) = {e^{{x^3} + 3x}}\left( {3{x^2} + 3} \right) \cr & f'\left( x \right) = 3\left( {{x^2} + 1} \right){e^{{x^3} + 3x}} \cr} $ |
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3. $f\left( x \right) = \frac{{{e^x} + 1}}{{{e^x} - 1}}$ Utilizando la fórmula de la derivada de un cociente de dos funciones $\eqalign{ & f'\left( x \right) = \frac{{\frac{d}{{dx}}\left( {{e^x} + 1} \right)\left( {{e^x} - 1} \right) - \frac{d}{{dx}}\left( {{e^x} - 1} \right)\left( {{e^x} + 1} \right)}}{{{{\left( {{e^x} - 1} \right)}^2}}} \cr & f'\left( x \right) = \frac{{{e^x}\left( {{e^x} - 1} \right) - {e^x}\left( {{e^x} + 1} \right)}}{{{{\left( {{e^x} - 1} \right)}^2}}} \cr & f'\left( x \right) = \frac{{{e^{2x}} - {e^x} - {e^{2x}} - {e^x}}}{{{{\left( {{e^x} - 1} \right)}^2}}} \cr & f'\left( x \right) = \frac{{ - 2{e^x}}}{{{{\left( {{e^x} - 1} \right)}^2}}} \cr} $ |
4. $f\left( x \right) = {e^{\sin \left( {2x} \right)}}$ Utilizando la fórmula de la derivada y la regla de la cadena. $\eqalign{ & f'\left( x \right) = {e^{\sin \left( {2x} \right)}}\frac{d}{{dx}}\left( {\sin \left( {2x} \right)} \right) \cr & f'\left( x \right) = {e^{\sin \left( {2x} \right)}}\left( {2\cos \left( {2x} \right)} \right) \cr & f'\left( x \right) = 2\cos \left( {2x} \right){e^{\sin \left( {2x} \right)}} \cr} $ |
Determina la deriva de las siguientes funciones exponenciales. Selecciona la opción correcta.
1. $f\left( x \right) = 3{e^x}$
- $f'\left( x \right) = \frac{1}{3}{e^x}$
- $f'\left( x \right) = {e^x}$
- $f'\left( x \right) = 3{e^x}$
$\eqalign{ & f'\left( x \right) = 3\frac{d}{{dx}}\left( {{e^x}} \right) \cr & f'\left( x \right) = 3{e^x} \cr} $
2. $f\left( x \right) = {e^{{x^2}}}$
- $f'\left( x \right) = 2x{e^{{x^2}}}$
- $f'\left( x \right) = x{e^{{x^2}}}$
- $f'\left( x \right) = x{e^{2{x^2}}}$
$\eqalign{ & f'\left( x \right) = {e^{{x^2}}}\frac{d}{{dx}}\left( {{x^2}} \right) \cr & f'\left( x \right) = {e^{{x^2}}}\left( {2x} \right) \cr & f'\left( x \right) = 2x{e^{{x^2}}} \cr} $
3. $f\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^2}}}}}{x}$
- $f'\left( x \right) = \frac{{2{e^{{x^2}}}\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2}}}$
- $f'\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^2}}}\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2}}}$
- $f'\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^2}}}\left( {2{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2}}}$
Utilizamos la derivada de la función exponencial natural, la regla del cociente y la regla de la cadena.
$\eqalign{ & f'\left( x \right) = \frac{{x \cdot \left[ {2x{e^{{x^2}}}} \right] - {e^{{x^2}}}\left( 1 \right)}}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^2}{e^{{x^2}}} - {e^{{x^2}}}}}{{{x^2}}} \cr & f'\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^2}}}\left( {2{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2}}} \cr} $