Formalización del TCP

Formalización del Trinomio Cuadrado Perfecto

En los ejemplos anteriores se presentó el procedimiento para la factorización de trinomios cuadrados perfectos, en este apartado se proporcionarán los correspondientes para la factorización de trinomios de la forma $ax^2+bx+c$ a trinomios cuadrados perfectos de la forma $a{\left(x+b\right)}^2+d$.

Cuando se tiene un trinomio que no es cuadrado perfecto, entonces no se puede factorizar con los procedimientos descritos con anterioridad; en estos casos se recurre al manejo algebraico para conformar un trinomio cuadrado perfecto, con lo cual, ahora sí es posible utilizar los procedimientos ya descritos.

Revisa los siguientes ejemplos en los que se indican los pasos que se requieren para conformar un trinomio cuadrado perfecto y su posterior factorización, da clic en cada pestaña.

Dado un polinomio de la forma ${ax}^2+bx+c$, para completar el TCP seguimos los siguientes pasos:

Revisa el proceso dando clic en los números

Factorizar el coeficiente del término cuadrático a, significa ponerlo como factor del paréntesis, y como el coeficiente b del término lineal x no lo tiene, se divide por el factor a, puesto que al multiplicar los términos del paréntesis por a, se obtiene ${ax}^2+bx$

$a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c$

El coeficiente de $x$ se divide entre 2 y se eleva al cuadrado. Este resultado se ocupará en el siguiente paso.

${\left(\frac{b}{2a}\right)}^2$

El valor del paso 2, es decir ${\left(\frac{b}{2a}\right)}^2$ se suma y resta a los elementos que están entre los paréntesis del paso 1:

$a\left(x^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2\right)+c$

Ahora tenemos construido un trinomio cuadrado perfecto, es decir, cada término de la fracción se eleva al cuadrado:

$a\left(x^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2\right)+c$

Donde: $a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}\right)+c$

TCP en naranja

Multiplicamos el factor común a al término $-\frac{b^2}{4a^2}$, para sacarlo del paréntesis:

$a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac{ab^2}{4a^2}+c$

Lo que queda en el paréntesis es el trinomio cuadrado perfecto

Al obtener las raíces cuadradas del primero y tercer término, el TCP se reduce a un binomio al cuadrado:

$a{\left(x^2+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{ab^2}{4a^2}+c$

Que al simplificar queda como:

$a{\left(x^2+\frac{b}{2a}\right)}^2+c-\frac{b^2}{4a}$

${5x}^2+13x-6$

Revisa el proceso dando clic en los números

Factorizar el coeficiente del término cuadrático $a=5$

$5\left(x^2+\frac{13}{5}x\right)-6$

El coeficiente de $x$ se divide entre 2 y se eleva al cuadrado, el producto se realiza como lo indican las líneas, es decir, el producto de extremos entre el producto de medios. Este resultado se ocupará en el siguiente paso.

formula

El valor del paso 2, es decir ${\left(\frac{13}{10}\right)}^2$, se suma y resta a los elementos que están entre los paréntesis del paso 1:

$5\left(x^2+\frac{13}{5}x+{\left(\frac{13}{10}\right)}^2-{\left(\frac{13}{10}\right)}^2\right)-6$

Ahora tenemos construido un trinomio cuadrado perfecto, es decir, cada término de la fracción se eleva al cuadrado:

$5\left(x^2+\frac{13}{5}x+\frac{{\left(13\right)}^2}{{\left(10\right)}^2}-\frac{{\left(13\right)}^2}{{\left(10\right)}^2}\right)-6$

TCP en naranja

Multiplicamos el factor común $a$ al término $-\frac{b^2}{4a^2}$, para sacarlo del paréntesis.

$5\left(x^2+\frac{13}{5}x+\frac{{\left(13\right)}^2}{({10}^2)}\right)-\frac{5{(13})^2}{{\left(10\right)}^2}-6$

Lo que queda en el paréntesis es el trinomio cuadrado perfecto

Al obtener las raíces cuadradas del primero y tercer término, el TCP se reduce a un binomio al cuadrado:

$5{\left(x^2+\frac{13}{10}\right)}^2-\frac{5{(13})^2}{{\left(10\right)}^2}-6$

Que al simplificar queda como:

$5{\left(x^2+\frac{13}{10}\right)}^2-\frac{845}{100}-6$

Donde:

$-\frac{845}{100}-6=-\frac{845}{100}-\frac{600}{100}=-\frac{1445}{100}$

Por lo tanto:

$5{\left(x+\frac{13}{10}\right)}^2-\frac{1445}{100}$

Por lo tanto, el polinomio original se puede expresar en términos de un TCP:

${5x}^2+13x-6=5{\left(x+\frac{13}{10}\right)}^2-\frac{1445}{100}$

${2x}^2+8x-10=0$

El trinomio indicado no corresponde a un TCP ya que no se cumple la regla en la que el segundo término es igual al doble producto de las raíces cuadradas del primer y el tercer término. Por ello, se recurre al procedimiento descrito en la formalización, tal como se indica a continuación.

Revisa el proceso dando clic en los números

Sacamos el factor común $a=2$, de los términos con $x$:

$2\left(x^2+4x\right)-10=0$

El coeficiente que acompaña a $x$, se divide entre 2 y se eleva al cuadrado. Este resultado se ocupará en el siguiente paso:

${\left(\frac{4}{2}\right)}^2={\left(2\right)}^2$

Sumamos y restamos el cuadrado del resultado del paso 2:

$2(x^2+4x+(2)^2-(2)^2)-10$

$=2(x^2+4x+4-4)-0=0$

Ahora tenemos un trinomio cuadrado perfecto:

$2\left(x^2+4x+4-4\right)-0=0$

Multiplicamos por el factor común a=2 , al término -4, para sacarlo del paréntesis:

$2\left(x^2+4x+4\right)-2*4-10=$

$2\left(x^2+4x+4\right)-18=0$

Lo que queda dentro del paréntesis es el trinomio cuadrado perfecto:

$2\left(x^2+4x+4\right)-18=0$

Al obtener las raíces cuadradas del primer y el tercer término el TCP se reduce a un binomio al cuadrado:

$\ 2{(x+2)}^2-18=0$

Por lo tanto, la factorización del polinomio queda como:

formula

Para resolver la ecuación cuadrática $2{(x+2)}^2-18=0$, se suma 18 a los lados de la ecuación:

$2{(x+2)}^2-18+18=0+18=18$

y al simplificalar se obtiene:

$2{(x+2)}^2=18$

Luego se tiene que dividir a los lados de la ecuación entre 2 para eliminar el factor 2 de la misma, es decir:

$\frac{2{\left(x+2\right)}^2}{2}=\frac{18}{2}$ que al simplificar queda como ${\left(x+2\right)}^2=9$

Para resolverla se extrae la raíz cuadrada a los dos lados de la ecuación, es decir:

$\sqrt{{(x+2)}^2}=\pm{}\sqrt{9}$ y al simplificarla se obtiene $x+2=\pm{}3$

Las soluciones de la ecuación cuadrática son:

$x_1=1$

$x_2=-5$

Comprobación

Para verificar que las soluciones encontradas son correctas, se sustituye cada solución en la ecuación original, solucionándola y corroborando que se cumpla la igualdad, como se muestra a continuación:

Para $x_1=1$

${2x}^2+8x-10=0$

${2\left(1\right)}^2+8\left(1\right)-10=0$

$2(1)+8(1)-10=0$

$2+8-10=0$

$0=0$

Para $x_2=-5$

${2x}^2+8x-10=0$

${2\left(-5\right)}^2+8\left(-5\right)-10=0\ $

$2\left(25\right)+8\left(-5\right)-10=0$

$50-40-10=0$

$0=0$

Como puede apreciarse, ambas soluciones satisfacen a la ecuación cuadrática, puesto que en cada una de ellas se obtiene 0=0 . Lo cual demuestra que $x_1=1$ y $x_2=-5$ son soluciones de la ecuación cuadrática ${2x}^2+8x-10=0$.